Contraejemplo de la convergencia uniforme de una sucesión de funciones diferenciables

Estoy luchando tratando de encontrar una secuencia de función real$\{f_n\}_n$tal que

1. $\forall n: f_n$se define en un intervalo abierto y limitado$(a,b)$;
2. $\forall n: f_n$es diferenciable en todas partes (wrt$x$) en$(a,b)$;
3. $\exists x_0\in (a,b)$tal que$\{f_n(x_0)\}_n$converge;
4. $\{f'_n\}_n$es uniformemente convergente en$(a,b)$;
5. $\{f_n\}_n$no converge uniformemente en$(a,b)$.

Ahora, las condiciones 2), 3), 4) son suficientes para garantizar la convergencia puntual de$\{f_n\}_n$en$(a,b)$, digamos a una función$f:(a,b)\to\mathbb{R}$, y la posibilidad de intercambiar límite con diferenciación en el sentido de que

$$\forall x\in (a,b): f'(x)=\lim_n f'_n(x).$$ Además, bajo esas mismas suposiciones, podemos tener una convergencia uniforme en cada subintervalo compacto de$(a,b)$. Mi objetivo es encontrar una secuencia de funciones que satisfaga todas esas cinco condiciones: supongo que el problema debe provenir de la apertura del dominio de las funciones que interfiere con la convergencia uniforme de las$\{f_n\}_n$: desafortunadamente, todos mis intentos fallaron, así que estoy aquí para pedirles ayuda para encontrar una secuencia como esa. ¿Algunas ideas?