¿Cómo puedo saber si un subconjunto de un espacio métrico está cerrado o abierto intuitivamente? [cerrado]

Dentro de tal contexto, es útil recordar la siguiente propiedad de los mapeos continuos: la preimagen de los conjuntos abiertos es abierta y la preimagen de los conjuntos cerrados es cerrada.

Ahora podemos considerar cada caso por separado.

(a) Dejar$f:(\mathbb{R}^{2},\|\cdot\|_{2})\to(\mathbb{R},|\cdot|)$definirse como$f(x,y) = y - x^{2}$.

Entonces podemos decir que$A$está abierto porque$A = f^{-1}(-\infty,0)$y$(-\infty,0)$está abierto, donde$f$es continuo

(b) Del mismo modo, definamos$g:(\mathbb{R}^{2},\|\cdot\|_{2})\to(\mathbb{R},|\cdot|)$como$g(x,y) = x^{2} + y^{2} - 1$.

Entonces podemos decir que$A$está cerrado porque$A = g^{-1}(\{0\})$y$\{0\}$está cerrado, donde$g$es continuo

(c) Dicho conjunto no es ni abierto ni cerrado. Eso es porque no importa el número racional$q\in\mathbb{Q}$uno elige, cualquier bola abierta$B_{\varepsilon}(q)$no está contenido en$\mathbb{Q}$. Por otro lado,$\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$. De este modo$\mathbb{Q}\not\supseteq\overline{\mathbb{Q}}$.

(d) Definamos$f:(\mathbb{R}^{2},\|\cdot\|_{2})\to(\mathbb{R},|\cdot|)$como$f(x,y) = x$y$g:(\mathbb{R}^{2},\|\cdot\|_{2})\to(\mathbb{R},|\cdot|)$como$g(x,y) = y$.

Por lo tanto podemos decir que$A$está cerrado porque$A = f^{-1}([0,\infty))\cap g^{-1}([0,+\infty))$y el conjunto$[0,+\infty)$está cerrado, donde ambos$f$y$g$son continuos.

¡Ojalá esto ayude!

Muchas veces es muy conveniente trabajar con secuencias, ya que sus propiedades funcionan muy bien, por ejemplo, con la continuidad. Digamos que tienes un espacio métrico$(X,d)$y un subconjunto$A\subseteq X$que desea saber si está cerrado. Una forma de hacer esto sería dejar$\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$sea ​​una sucesión convergente en$A$con limite$x\in X$. Si eres capaz de demostrar que$x\in S$, entonces se sigue que$S$está cerrado. Esta es simplemente una caracterización secuencial de conjuntos cerrados. Además, también puedes usar esto si quieres mostrar que$A$está abierto en su lugar, ya que esto es equivalente a$X\setminus A$estando cerrado

Ahora déjame darte un ejemplo de cómo se puede usar esto para mostrar que un conjunto está cerrado mirando uno de tus conjuntos. Aquí también quiero señalar que sus conjuntos no tienen sentido para espacios métricos arbitrarios. Entonces consideramos el espacio métrico$\mathbb{R}^2$bajo la métrica euclidiana estándar, y los dos subconjuntos

$$S_1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2+y^2=1\},$$ $$S_2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x\in\mathbb{Q}\}.$$

Dejar$\{(x_n,y_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$sea ​​una sucesión convergente en$S_1$con limite$(x,y)\in X$. Esto significa que para todos$n\in\mathbb{N}$tenemos eso

$$x_n^2+y_n^2=1.$$

Ahora tomando el límite de esto como$n\to\infty$lo conseguimos

$$1=\lim_{n\to\infty}\left(x_n^2+y_n^2\right)=x^2+y^2$$

por continuidad. De este modo$(x,y)\in S_1$, y entonces$S_1$está cerrado.

Ahora pasemos a$S_2$. Desde$\mathbb{Q}$es denso en$\mathbb{R}$podemos dejar$\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ser una secuencia en$\mathbb{Q}$con limite$x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. A partir de esto, solo deja$\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ser una secuencia convergente arbitraria en$\mathbb{R}$con limite$y\in\mathbb{R}$. Esto significa que$\{(x_n,y_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$es una sucesión convergente en$S_2$con limite$(x,y)\in\mathbb{R}$, pero como$x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, este límite no está en$S_2$. De este modo$S_2$no está cerrado

Además, podemos usar un argumento similar para demostrar que$S_2$no está abierto Así que considere el conjunto

$$\mathbb{R}^2\setminus S_2 =\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\}.$$

Desde$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$es denso en$\mathbb{R}$podemos usar un argumento similar para construir una secuencia de números irracionales con un límite racional, y a partir de esto construir una secuencia en$\mathbb{R}^2\setminus S_2$con limite en$S_2$, lo que demuestra que$\mathbb{R}^2\setminus S_2$no está cerrado, y por lo tanto$S_2$no está abierto

Un conjunto abierto es una unión de bolas abiertas. Esto puede ser contradictorio al principio, pero un rectángulo$(a,b)\times (c,d)$en el plano es la unión de discos abiertos: elige un subconjunto denso de puntos en el rectángulo, y en cada uno de estos puntos toma la bola abierta más grande incluida en el rectángulo. Entonces la unión de todas estas bolas es precisamente el rectángulo.

Esto puede dar un poco de intuición sobre conjuntos abiertos.