Demuestre que las siguientes tres condiciones de acotación del espacio métrico/subsecuencia son equivalentes.

Question

Demuestre que las siguientes tres condiciones de acotación del espacio métrico/subsecuencia son equivalentes.

Matemáticas
espacios métricos
análisis real

bob mcdonald

Digamos que tengo un espacio métrico $(M,d)$ , y $A$ es un subconjunto de $M$ . Estoy tratando de probar que las siguientes tres condiciones son equivalentes.

$(\exists x \in M)$ $(\{d(x,y): y \in A\}$ está ligado)

$(\forall x \in M)$ $(\{d(x,y): y \in A\}$ está ligado)

$(\{d(x,y): x$ y $y \in A\}$ está ligado)

Para la segunda condición que conduce a la primera, si para todos $x \in M$ , $\{d(x,y): y \in A\}$ está acotado, entonces ciertamente existe al menos un $x \in M$ tal que $(\{d(x,y): y \in A\}$ está ligado.

Para la última condición que conduce a la primera condición, creo que si existe una función de distancia tal que los puntos en A estén acotados, entonces existe un punto $x$ en M (que también está en A, presumiblemente) tal que la función de distancia $d(x,y)$ está delimitado por $y \in A$

¿Pensamientos sobre cómo probar la equivalencia formalmente?

Editar: la segunda condición que es equivalente a la tercera es aparentemente más complicada de lo que sugerí en el comentario a continuación. (Me describieron la tercera condición como: Para cualquier punto arbitrario (x,y) en A, el conjunto de distancias desde (x,y) a otros puntos en A está acotado).

Respuestas (1)

Demuestre que las siguientes tres condiciones de acotación del espacio métrico/subsecuencia son equivalentes.

Una tierra · Answer 1

Parece que sabes cómo probar $(iii)\implies (i)$ . Para $(i)\implies (ii)$ , dejar $x_0$ ser el punto bajo $(i)$ . Entonces para todos $x\in M$ y $y\in A$ , tenemos

d (X, y) \leq d (X, X_{0}) + d (X_{0}, y) \leq d (X, X_{0}) + C,

$d(x,y)\leq d(x,x_0)+d(x_0,y)\leq d(x,x_0)+C,$ dónde

C

$C$ es una constante, independiente de

y

$y$ , por hipótesis.

Mira si puedes manejar $(ii)\implies (iii)$ .

Parece que podemos decir: Si $\forall x \in M$ significar $\{d(x,y):y\in A\}$ está acotado, entonces la misma condición es cierta para los puntos $x$ en $A$ , ya que también están contenidos en $M$ . De ahí la función $d(x,y)$ está acotado para ambos $x$ y $y$ en $A$ . Por lo tanto (iii) es verdadero. No creo que esté escrito lo suficientemente formalmente, pero ¿es correcto el pensamiento?
@zuguzug Mi enfoque para (ii) -> (iii) también sería la desigualdad del triángulo, pero no veo cómo expresarlo formalmente. Traté de reexpresar la condición tres en el enunciado del problema para explicar dónde me están frustrando.
@BobMcdonald: Para $(ii)\implies (iii):$ Llevar $z\in M$ . Entonces para todos $x,y\in A$ , tenemos $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ . Por $(ii)$ , existe un límite que depende de $z$ (pero no $x$ y $y$ ) tal que $d(x,z)\leq C(z)$ y $d(z,y)=d(y,z)\leq C(z)$ . Por eso, $d(x,y)\leq 2 C(z)$ , que es claramente un límite superior que no depende de $x,y$ .

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bob mcdonald

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Una tierra

bob mcdonald

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Una tierra

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