Ejemplo de fff continuo en un espacio métrico totalmente acotado XXX, donde f(X)f(X)f(X) no está totalmente acotado

Dejar X Sea un espacio métrico totalmente acotado. Si F es una aplicación uniformemente continua de X a un espacio métrico Y , muestra esa F ( X ) está totalmente acotado. ¿Es lo mismo cierto si F solo se requiere que sea continua?

Tengo la primera parte, pero ahora estoy atascado en la segunda parte. Creo que la respuesta es no y creo F ( X ) = 1 X con X = ( 0 , 1 ] sería un contraejemplo, pero estoy luchando para demostrar que no está totalmente delimitado

EDITAR: Del mismo modo, si X es completo y F continuo, es cierto que F ( X ) ¿Esta completo? Nuevamente, creo que la respuesta es no, pero tengo problemas para encontrar algún ejemplo aquí.

Pista: totalmente acotado ⟹ encerrado.
F ( 0 , 1 ] = [ 1 , ∞ ) no está acotado, deja totalmente acotado
@TheoBendit ¡Gracias! Agregué una pregunta. ¿Podrías echarle un vistazo?
@Find_X ¡Gracias! Agregué una pregunta. ¿Podrías echarle un vistazo?

Respuestas (1)

Llevar yo : [ 1 , + ∞ ) ⟶ R definido por yo ( X ) = 1 X . El espacio [ 1 , + ∞ ) Esta completo, yo es continuo, pero yo ( [ 1 , + ∞ ) ) = ( 0 , 1 ] , que no está completo.

Ejemplo de fff continuo en un espacio métrico totalmente acotado XXX, donde f(X)f(X)f(X) no está totalmente acotado
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