¿Es posible escribir la Acción de Hilbert como producto de dos tensores idénticos?

Sabemos que la acción de Maxwell se puede escribir como el producto tensorial del tensor F a b consigo mismo F a b F a b

[Editar: Olvidé mencionar este bit en la pregunta original] Usando la regla del producto, uno puede escribir la acción ∫ − gramo R d X 4 en términos de primeras derivadas únicamente (ignorando los términos de contorno). Llame a este lagarangiano B . Entonces:

B = − gramo ( gramo a b gramo d mi gramo C F + 2 gramo a C gramo b F gramo d mi + 3 gramo a d gramo b mi gramo C F − 6 gramo a d gramo b F gramo C mi ) ∂ C gramo a b ∂ F gramo d mi

De manera similar, ¿hay un tensor (o, de hecho, un objeto de matriz no tensor)? PAG a b C tal que PAG a b C PAG a b C = B ? PAG debe contener sólo las primeras derivadas de gramo . es decir, ignorando los términos de frontera: ∫ − gramo R d X 4 = ∫ − gramo PAG a b C PAG a b C d X 4

¿O hay una prueba simple de que esto no es posible?

Supongo que escribirías:

PAG a b C = α 1 ∂ a gramo b C + α 2 ∂ b gramo a C + α 3 ∂ C gramo a b + α 4 gramo a b gramo mi F ∂ C gramo mi F + α 5 gramo a C gramo mi F ∂ b gramo mi F + α 6 gramo b C gramo mi F ∂ a gramo mi F

Y ver qué valores de α posiblemente lo resolvería. Incluso si el α son no conmutativos.

Editar: usando software de computadora, creo que se puede hacer donde el α son números complejos. No creo que haya una solución realmente valiosa.

Eres inconsistente acerca de si PAG tiene dos índices o tres.
Es de mala educación invalidar las respuestas cambiando la pregunta después de escribir una respuesta.
Sí, me equivoqué porque una derivada de la métrica tendría 3 índices.
@Herrero. Perdón fue un error que cometí en la pregunta. No estoy tratando de ser grosero.
Debe escribir su cambio como un apéndice y dejar en claro que se agregó después de mi respuesta. Entonces alguien más puede responder a su pregunta revisada.
No considero que la edición sea satisfactoria. Voy a borrar mi respuesta. Dudaré en responder cualquier otra pregunta de usted. Mis mejores deseos para obtener respuestas de otros.
@knzhou Similar sí. Básicamente, estaba viendo la conferencia de Weinstein sobre su teoría de la "unidad geométrica", y esto me hizo pensar en esta pregunta. Pero la diferencia es que lo escribo en términos de primeras derivadas solamente. Así que podría ser más fácil.

Respuestas (2)

Aunque no es exactamente lo que pretendía, es posible que le interese la formulación de la gravedad de MacDowell-Mansouri.

Este formalismo combina la conexión Levi-Civita y el campo coframe en un solo campo físico, lo que lleva a una teoría calibre Lagrangiana:

S milímetro [ A ] = − 1 2 Λ ∫ t r ( F ^ ∧ ⋆ F ^ ) ,
con un grupo de Sitter o anti-de Sitter como grupo de calibre (dependiendo del signo de la constante cosmológica).

Esta acción es clásicamente equivalente a la acción de Einstein-Hilbert con constante cosmológica (la diferencia entre estas acciones es proporcional al término puramente topológico de Gauss-Bonnet que no cambia las EFE).

El papel original:

  • MacDowell, SW y Mansouri, F. (1977). Teoría geométrica unificada de la gravedad y la supergravedad . física Rev. Lett. 38 (14): 739–742. doi:10.1103/PhysRevLett.38.739 .

Se puede encontrar una exposición más accesible en la tesis de D. Wise, ver también su artículo o estas diapositivas .

Gracias. Las matemáticas son un poco complicadas para mí. ¿Podría elaborar? Solo entiendo el formalismo de tensor, no el formalismo de cuña, estrella hodge, sombrero.
Estos son tensores "bajo el capó". Puede pensar en esta notación como una forma coherente de ocultar índices. Por ejemplo, F ^ es una forma de 2 valores de álgebra (a)dS, lo que significa que debajo tiene 2 índices internos y 2 índices de tensor antisimétrico covariante. Las diapositivas que vinculé para dar las definiciones más concisas de estos objetos (también noté que algunos coeficientes como 1 / ℓ se omiten allí).

Encontré una respuesta usando un software de álgebra computacional. Desafortunadamente, la respuesta tiene coeficientes complejos:

PAG a b C = 1 2 ( 3 − − 3 ) ∂ a gramo b C + 1 2 ( − − 3 − 3 ) ∂ b gramo a C + ( 0.3735 i + 0.8771 ) gramo b C gramo mi F ∂ a gramo mi F + ( 0.86146 i − 0.2620 ) gramo b C gramo mi F ∂ a gramo mi F

Parece que hay un número infinito de soluciones, de hecho, si dejamos que los coeficientes sean números complejos. Y soluciones cero si los coeficientes deben ser reales.

Como solo se puede resolver en números complejos, no creo que tenga ninguna importancia. A diferencia de Maxwell, que tiene el simple F a b = ∂ a A b − ∂ b A a

Una mejor solución podría ser simplemente sustituir en ∂ a gramo b C = Γ b a C − Γ C a b en la ecuación de B para obtener una especie de término cuadrado que involucre solo los símbolos de Christoffel.

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