Normalmente en geometría diferencial, asumimos que la única forma de producir una cantidad tensorial por diferenciación es (1) comenzar con un tensor y luego (2) aplicar una derivada covariante (no una simple derivada parcial antigua). Aplicando esto a GR, creo que una forma de establecer el principio de equivalencia es que el único objeto tensorial que esperamos que esté "incorporado" al vacío es la métrica. Dado que la derivada covariante se define básicamente como una derivada que produce cero cuando la aplicas a la métrica, esto significa que no puedes obtener nada de interés (es decir, local y tensorial) al aplicar el proceso descrito en el n.° 1 y el n.° 2 al vacío. Esto se puede usar como una forma elegante de argumentar que el campo gravitatorio newtoniano no es un tensor, ya que en el límite newtoniano es esencialmente el gradiente de la métrica.
Sin embargo, el proceso descrito por #1 y #2 es suficiente pero no necesario. De hecho, una forma de definir la curvatura es tomar derivadas no covariantes en la métrica para formar los símbolos de Christoffel y luego realizar más operaciones que involucren derivadas no covariantes para obtener el tensor de curvatura de Riemann, que sorprendentemente termina siendo un tensor válido. .
Parece, entonces, que el tensor de Riemann es un caso especial. Originalmente pensé que podría haber un teorema de unicidad que probara que si queremos producir una cantidad tensorial local a partir de la métrica, las únicas posibilidades son el tensor de Riemann o los polinomios de curvatura formados a partir del tensor de Riemann y sus derivadas covariantes.
[EDITS] Un comentario de joshphysics y la respuesta de BebopButUnsteady me ayudaron a refinar esta conjetura de la siguiente manera.
Joshphysics señaló que cosas como podrían considerarse contraejemplos triviales. Puedo pensar en dos formas posibles de lidiar con esto:
(1) La respuesta de BebopButUnsteady muestra que, en cierto sentido, no es un contraejemplo, ya que la métrica en sí misma se puede expresar como una serie de Taylor en términos del tensor de Riemann y sus derivados. Si la métrica es analítica y estamos dispuestos a aceptar series infinitas, esto significa que no hay información en la métrica que no sea recuperable del tensor de Riemann.
(2) Lo que no parece existir, aparte de los polinomios de curvatura formados a partir del tensor de Riemann y sus derivadas covariantes, es (a) cualquier campo escalar variable, o (b) cualquier campo vectorial. (La parte b es básicamente el principio de equivalencia).
La respuesta a su pregunta es afirmativa en el siguiente sentido:
En las coordenadas normales de Riemann en los coeficientes de la expansión de Taylor de la métrica son polinomios en el tensor de Riemann en y sus derivadas covariantes en . [Asumiendo que la prueba en esta cosa aleatoria que busqué en Google [a] es correcta, comenzando en (5.1)].
Creo que esta es la formalización correcta de su conjetura en el sentido de que si estamos haciendo un tensor de lo único que podemos usar son y su expansión en coordenadas normales. Tal vez trate de escribir por qué creo que este es el caso.
Por cierto, la condición local es muy necesaria, ya que de lo contrario podríamos definir cosas como la longitud del ciclo más corto que contiene eso está en una cierta clase de homotopía, que claramente "depende solo de la métrica" pero no está hecha de polinomios de la curvatura.
Para aquellos interesados, hice una pregunta en Math SE que contiene lo que creo que es la formalización correcta de la pregunta: "¿Qué tensores puedo producir a partir del tensor métrico?" Construcciones "naturales" de campos tensoriales a partir de campos tensoriales en una variedad
[a]: Guarrera, DT, Johnson, NG, Wolfe, HF (2002) La expansión de Taylor de una métrica riemanniana
http://www.rose-hulman.edu/mathjournal/archives/2002/vol3-n2/Wolfe/Rmn_Metric.pdf
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