Espacio 3D plano descrito con coordenadas esféricas VS espacio curvo que es la superficie de una esfera

Question

Espacio 3D plano descrito con coordenadas esféricas VS espacio curvo que es la superficie de una esfera

usuario99651

Me gustaría preguntar si hay una manera de saber cómo averiguar si un espacio es plano o curvo dada una métrica que podría describir un espacio plano en coordenadas curvilíneas o simplemente un espacio curvo.

Por ejemplo, dada la métrica, ¿cómo puedo diferenciar entre un espacio 3D plano con la métrica dada en coordenadas esféricas y la superficie curva de una esfera? ¿Estos dos casos no darían los mismos componentes del tensor de curvatura de Riemann que no desaparecen?

PD: solo soy un principiante en relatividad general.

gj255

Puede ser instructivo (aunque tedioso) calcular el tensor de Riemann en los dos casos que mencionas. Encontrará que, incluso en coordenadas esféricas, todos los componentes del tensor de Riemann para el espacio 3D plano se desvanecerán. Esto no es así para la esfera. Esto no debería sorprender --- generalmente es posible 'cortar' un espacio plano en una pila de (hiper)superficies curvas (en este caso, esferas de radio

r

$r$ ). ¡El hecho de que estas superficies sean curvas no significa que todo el espacio lo sea!

usuario99651

@ gj255 Esta es una idea bastante buena, ¡gracias!

Respuestas (1)

Espacio 3D plano descrito con coordenadas esféricas VS espacio curvo que es la superficie de una esfera

Puede ser instructivo (aunque tedioso) calcular el tensor de Riemann en los dos casos que mencionas. Encontrará que, incluso en coordenadas esféricas, todos los componentes del tensor de Riemann para el espacio 3D plano se desvanecerán. Esto no es así para la esfera. Esto no debería sorprender --- generalmente es posible 'cortar' un espacio plano en una pila de (hiper)superficies curvas (en este caso, esferas de radio $r$ ). ¡El hecho de que estas superficies sean curvas no significa que todo el espacio lo sea!

knzhou · Answer 1

Estas dos métricas no son lo mismo. La primera métrica es

d s^{2} = d r^{2} + r^{2} d Ω^{2}

$ds^2 = dr^2 + r^2 d\Omega^2$ mientras que la segunda métrica es

d s^{2} = r_{0}^{2} d Ω^{2}

$ds^2 = r_0^2 d\Omega^2$ dónde

r_{0}

$r_0$ es una constante, el radio de la esfera. Estas son cantidades diferentes; los espacios involucrados ni siquiera tienen el mismo número de dimensiones. La curvatura de Riemann de la primera métrica es cero, mientras que la curvatura de la segunda no lo es.

Está en lo correcto al concluir que la primera métrica debe tener una curvatura cero, ya que está relacionada con las coordenadas cartesianas mediante un cambio de coordenadas y la curvatura es un tensor. Pero esto no dice nada sobre la segunda métrica.

Podría pensar que el segundo caso debería ser el mismo, porque la esfera se puede incrustar en un espacio plano. La diferencia geométrica es que los vectores en la esfera deben ser tangentes a la esfera. Eso significa que el transporte paralelo en la esfera no es lo mismo que el transporte paralelo en el espacio de incrustación, ya que en el primer caso tenemos que proyectar el vector hacia la esfera después de cada paso.

Espacio 3D plano descrito con coordenadas esféricas VS espacio curvo que es la superficie de una esfera

usuario99651

gj255

usuario99651

Respuestas (1)

knzhou

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