¿Por qué el espacio-tiempo de Minkowski en coordenadas polares se trata en los textos como un espacio-tiempo plano?

Tomando el elemento de línea de espacio-tiempo 3-D Minkowski en la Relatividad General:

d s 2 = − C 2 d t 2 + d X 2 + d y 2 + d z 2 ,

al considerar un cambio en coordenadas esféricas conduce a:

d s 2 = − C 2 d t 2 + d r 2 + r 2 ( d θ 2 + pecado 2 ⁡ θ d ϕ 2 ) .

En varios libros, se dice que esto sigue siendo un espacio-tiempo euclidiano plano, porque es solo un cambio de coordenadas hablando de lo mismo que en el plano euclidiano... pero mi gran pregunta es bajo qué punto de vista es esto todavía plano. , desde la conexión Levi-Civita Γ β λ α pues este nuevo espacio-tiempo no es cero para algunos componentes. ¿Son estos símbolos iguales a cero una condición necesaria para dar un espacio-tiempo plano?

Todavía no he calculado las componentes del tensor de Riemann para las coordenadas polares del espacio-tiempo. Pero es fácil ver que para las coordenadas cartesianas son iguales a cero. Si fueran distintos de cero, ¿supone esto que todavía se obedece la desviación de las geodésicas igual a cero? Desde que tengo memoria, si las componentes del tensor de Riemann R β m v α son todos cero, se obtiene una desviación cero y se puede hablar de un espacio-tiempo euclidiano plano. Además, puedo recordar que si el escalar de Ricci R = 0 si y sólo si se da un espacio-tiempo plano. ¿Estoy en lo correcto?

La curvatura viene dada por el tensor de Riemann, por lo que debes intentar calcularla. Los símbolos de Christoffel tampoco son 0 en coordenadas polares en un espacio euclidiano. Necesita una conexión en coordenadas polares habituales. Si un espacio es plano en algunas coordenadas, debe ser plano, pero eso no significa que sus coordenadas no necesiten una conexión.
La curvatura se deriva de la métrica. Si no ha cambiado la métrica, no ha cambiado la curvatura.
Hay términos como Riemann flat, Ricci flat y scalar flat, cada uno de los cuales significa cosas ligeramente diferentes (algo obvio por su nombre). El hecho de que Christoffel no sea cero no significa que la variedad sea plana.

Respuestas (1)

Bajo un cambio de coordenadas, la métrica puede cambiar de forma, pero es fundamentalmente la misma variedad con la que está tratando, y los escalares de curvatura son invariantes de difeomorfismo.

Mientras Γ b C a ≠ 0 , el espacio de Minkowski en cualquier conjunto de coordenadas tiene R b C d a = 0 . Para convencerse sin calcular, vea un cambio de coordenadas como un reetiquetado de posiciones. En lugar de una cuadrícula, puede usar un sistema de coordenadas esféricas, pero los puntos que está etiquetando en la superficie no se mueven. La distancia entre dos cualesquiera sigue siendo la misma.

La noción de curvatura tiene que ser independiente de cualquier sistema de coordenadas, ya que eso es algo que imponemos a la variedad y no es una propiedad intrínseca.

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