¿Por qué difiere la analogía entre el electromagnetismo y la relatividad general si los considera como teorías gauge o haces de fibras?

Hay una estructura adicional en juego aquí. Dependiendo del nivel que esté viendo, esto es el hecho de que la conexión tangente$\nabla$admite el intercambio de argumentos (si$\nabla_XY$está bien definido, entonces también lo está$\nabla_YX$), o que hay una forma de soldadura$\theta$en el haz principal de marcos para GR, mientras que no existe tal forma de soldadura para la conexión en EM.

En cualquier caso, ambos significan que existe una diferencia entre las simetrías de calibre.

• Para las simetrías locales de Lorentz , la diferencia es que la simetría local de Lorentz es una simetría "externa", mientras que la$U(1)$la simetría es interna. Podemos convertir la simetría "externa" en una interna precisamente mediante el uso de vielbeins:$A^a=A^\mu\theta^a_\mu$. Pero luego necesitamos encontrar dinámicas para el vielbein.$\theta^a_\mu$también. Este vielbein es precisamente la aparición local de dicha forma de soldadura.

• Para las simetrías de difeomorfismo, esto es totalmente diferente. La simetría local de Lorentz y la$U(1)$la simetría son ambas localizables. Puede hacer una transformación LL o una$U(1)$transformación en un punto . No se puede hacer un difeo en un punto . No soy un experto en esto, francamente, siempre me ha disgustado cuando la gente dice que GR es una teoría de calibre con$\text{Diff}(M)$siendo el grupo calibre. Claro, puedes verlo así, pero eso creará una diferencia irreconciliable con el$U(1)/SU(2)/SU(3)$teorías gauge del modelo estándar.

El único lenguaje algo unificado es cuando considera que el grupo de indicadores es el grupo de Lorentz. Además, la existencia de campos espinores también parece preferir la interpretación del grupo de Lorentz.

Si quieres una respuesta profunda, no puedo darte una. Hay una violación de esta analogía de calibre precisamente porque la simetría de Lorentz es una simetría de espacio-tiempo externa.

Una simetría interna con grupo calibre.$G$te dará una conexión$D$que actúa sobre secciones de los haces vectoriales asociados (asociados al principal$G$-paquete donde vive la conexión).

El hecho de que este sea un$G$-conexión en lugar de una$GL(k,\mathbb{C})$-la conexión se debe a que la forma del Lagrangiano para el campo de la materia generalmente involucrará una métrica de fibra (para QED escalar, este es el "producto interno"$q(\phi,\phi)=\phi^\dagger\phi$), generalmente una métrica hermitiana, que, debido a que queremos que la conexión sea compatible con la métrica, da como resultado$GL(k,\mathbb{C})$siendo reducible a algún grupo unitario.

Luego, especificamos un Lagrangiano para la conexión también, porque necesita ser un campo dinámico (para conexiones unitarias, este es el Lagrangiano de Yang-Mills), y luego tenemos nuestra teoría de norma clásica.

Para la gravedad, primero necesitamos un vielbein, para hacer que la simetría externa sea interna. El vielbein necesita tener dinámica, ya que si no, ¿cómo la especificarías? Pero ignoremos esto por ahora. Ahora tenemos una simetría de Lorentz interna, con fibra métrica$\eta$, entonces tenemos un$\eta$-conexión compatible.

Necesitamos especificar la dinámica de ambos$\theta^a_\mu$y$\omega^{\ a}_{\mu\ \ b}$. La compatibilidad métrica y la falta de torsión imponen eso$\omega$debe ser no dinámico, por lo que necesitamos cocinar un Lagrangiano para$\theta$. Pero la inestabilidad de Ostrogradsky nos obliga a buscar ecuaciones de campo de segundo orden, por lo que la curvatura (expresión de segundo orden) no puede ser una variable dinámica$^*$(a diferencia de Yang-Mills, donde la inestabilidad de Ostrogradsky no evitará esto, ya que allí la curvatura es de primer orden).

Incluso si no intenta hacer cumplir la compatibilidad y la falta de torsión, no cambiará nada. Si impone la falta de torio, pero no la compatibilidad, entonces obtiene el formalismo de Palatini, que es equivalente. Si no impone la falta de torsión, obtiene diferencias (teoría de Einstein-Cartan) que solo sienten los espinores. Incluso entonces, no puedes deshacerte de$\theta$como el "potencial" de la teoría.

La conclusión es que el vielbein es un objeto dinámico necesario para alcanzar la gravedad, y arruina la analogía.

*: Al decir que la curvatura no puede ser dinámica, quiero decir que no puede aparecer en las ecuaciones de campo en forma diferenciada.

Las analogías presentadas en la pregunta son, creo, defectuosas. Estoy de acuerdo con Weinberg, como se menciona en la respuesta de @tparker, en que la analogía es entre los símbolos de Christoffel ($\Gamma^\nu_{\mu\sigma}$) y el y el potencial de calibre ($A_\mu$). Este paralelo se vuelve más claro si comparamos la gravedad con las teorías de norma no abeliana y no suprimimos los índices de grupo. En particular, compare las derivadas covariantes (aplicadas a los tensores de "rango 1", por concreción):

$$\begin{align} [D_\mu]^i_{\hphantom{i}j} &= \delta^i_{\hphantom{i}j} \partial_\mu - i g [A_\mu]^i_{\hphantom{i}j} \\ [\nabla_\mu]^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} & = \delta^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} \partial_\mu + [\Gamma_\mu]^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma}. \end{align}$$ Tenga en cuenta que he modificado la notación estándar para ambos elementos. Modifiqué la notación de Yang-Mills para incluir una distinción entre si los índices están hacia arriba o hacia abajo. Cambié la derivada covariante GR para separar el índice que define la dirección en la que ocurre el transporte paralelo ( $\mu$) de las que describen la transformación del vector a lo largo del camino ( $\nu$, $\sigma$).

Dicho de otra manera, los vectores base de los espacios vectoriales en un punto del espacio-tiempo,$x^\mu$, está relacionado con los vectores base en un punto$x^\mu + \operatorname{d}x^\mu$a primer orden por:

$$\begin{align} \delta^i_{\hphantom{i}j} & + ig [A_\mu(x)]^i_{\hphantom{i}j} \operatorname{d}x^\mu \\ \delta^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} & - [\Gamma_\mu]^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} \operatorname{d}x^\mu. \end{align}$$ Note cómo las bases se transforman en el sentido opuesto al de los vectores. Es importante destacar que esto implica que cada segundo término anterior es un generador infinitesimal de transformaciones en el espacio de simetría relevante, lo que significa que, en general, son antihermitianos en sus índices abiertos. Las derivadas covariantes anteriores son, obviamente, la generalización para traducir una función vectorial completa, a diferencia de un solo vector. Traducir por una distancia finita requiere construir una estructura que se llama Línea de Wilson (ver Peskin & Schoeder página 495 y alrededores) en teorías de calibre no abelianas.

Dicho todo esto, aquí están las diferencias no notacionales entre las teorías de calibre ordinarias y la gravedad:

1. la métrica en las teorías de Yang-Mills es constante,
2. el espacio de grupo en gravedad es tangente a la variedad de espacio-tiempo,
3. los grados de libertad de la gravedad incluyen difeomorfismos de la variedad espacio-tiempo, y
4. el lagrangiano en gravedad es lineal en la curvatura en lugar de cuadrático.

La métrica en las teorías de Yang-Mills generalmente ni siquiera se discute porque generalmente es isomorfa a una métrica euclidiana constante. Incluso la teoría abeliana de Yang-Mills, el electromagnetismo, tiene una métrica. La representación definitoria de la$U(1)$grupo, por ejemplo, son las transformaciones que conservan la norma de los números complejos,$\rho^2 = z^\star z$. Escribir esta norma en términos de una métrica da un vector$z = x + iy$, a$2$-vector dimensional ($[z]^i$), y la métrica asigna eso al covector$z^\star = x - iy$($[z]_i$). Dadas las reglas de multiplicación de los números complejos, esto asigna la métrica a un$2$-$d$matriz de identidad,$g_{ij} = \delta_{ij}$.

El punto es: no se estudia, que yo sepa, que una teoría de Yang-Mills tenga una métrica que sea una función del espacio-tiempo.

La gravedad también es especial para, en cierto sentido, el grupo que representa una transformación tangente a la variedad. En otras palabras, es significativo que los índices de grupo (índices fuera de los corchetes anteriores) estén en el mismo espacio que las simetrías en la variedad, haciéndolos tangentes al espacio de una manera que incluso un grupo que es simplemente isomorfo a esos las simetrías no lo son. Esto de alguna manera se relaciona con la idea de que la gravedad está ligada a los difeomorfismos de la variedad de espacio-tiempo, en sí misma, y ​​es más que una simple medición de la$\operatorname{SL}(1,3)$grupo.

Es por esta razón que requerimos que la conexión sea "métricamente compatible" en gravedad. Al agregar la condición libre de torsión, esto mueve todos los grados de libertad de la conexión a la métrica. Por eso aparece allí el potencial gravitatorio newtoniano.

Como consecuencia de todo lo anterior, la curvatura pasa a ser cuadrática en la métrica, en lugar de lineal en la conexión. De particular importancia, tiene dos derivados en lugar de uno. Esta es una de las principales razones para usar un Lagrangiano que es lineal en la curvatura: existen dificultades teóricas sin resolver con teorías que tienen más de dos derivadas en el Lagrangiano; esta revisión de Woodard (2007) tiene una buena visión general de las dificultades de este relacionado con$f(R)$teorías de la gravedad.

Desearía poder aclarar esto con ejemplos, pero mi experiencia con las teorías de Yang-Mills es más profunda y no he cristalizado completamente mi pensamiento sobre este tema y cuáles son las implicaciones.

Weinberg analiza un poco estas analogías en el vol. II de su serie QFT:

La analogía se rompe en un aspecto importante: en la relatividad general, la conexión afín se construye a partir de las primeras derivadas del tensor métrico, mientras que en las teorías de calibre, los campos de calibre no se expresan en términos de ningún otro campo fundamental... [pág. 7]

entonces parece estar pensando en la conexión de Christoffel, no en la métrica, como el campo de medida, como la segunda analogía. Pero luego en la pág. 13, dice que$J_\mu$es análogo a$T_{\mu \nu}$, como en la primera analogía.

Parece que, contrariamente a mi primera impresión, las dos analogías anteriores en realidad son solo analogías, y ninguna de las correspondencias es particularmente estrecha. La teoría de Yang-Mills y GR son tipos cualitativamente diferentes de "teorías de calibre", porque en la teoría de Yang-Mills el tensor de intensidad de campo invariante de calibre$F_{\mu \nu}$se forma a partir de las primeras derivadas de los campos fundamentales, mientras que en GR el tensor de intensidad de campo invariante de calibre$R_{\mu \nu \rho \sigma}$se forma a partir de las segundas derivadas de los campos fundamentales. Entonces, las dos analogías anteriores son útiles en diferentes contextos, pero lejos de ser perfectas.

Sin embargo, podemos hacer más estricta la segunda analogía considerando el formalismo Palatini de GR, donde tratamos la métrica y la conexión como campos independientes y variamos la acción con respecto a cada uno por separado. Bajo este formalismo, la propia conexión del haz de fibras es un campo fundamental, al igual que en la teoría de Yang-Mills. (Pero todavía hay una gran diferencia entre las teorías, que es que las secciones del haz de fibras aparecen explícitamente en GR como$g_{\mu \nu}$pero no en el electromagnetismo clásico.)

Editar: el consenso general parece ser que esta es la "mejor" analogía, donde las flechas que apuntan hacia abajo denotan derivados y las flechas que apuntan hacia la derecha denotan contracciones de tensor:

Lo extraño de esta analogía es que las ecuaciones que relacionan el "tensor de intensidad de campo" con el "campo fuente de materia" son muy diferentes en los dos casos: la ecuación de movimiento de Yang-Mills$d(*F) = J$es una ecuación diferencial dinámica, mientras que la ecuación de movimiento análoga de la relatividad general$R^\rho_{\ \, \mu \rho \nu} - \frac{1}{2} g^{\sigma \lambda} R^\rho_{\ \, \sigma \rho \lambda} g_{\mu \nu} \propto T_{\mu \nu}$es simplemente una relación algebraica sin derivadas. No estoy seguro de qué hacer con eso.