Escalar de Ricci en Campo escalar en espacio-tiempo curvo

Question

Escalar de Ricci en Campo escalar en espacio-tiempo curvo

usuario33941

Recientemente estuve mirando un Lagrangiano de un campo escalar en un espacio-tiempo curvo en http://www.unc.edu/~mgood/research/Carroll_QFT_CS.pdf en la página 8. No soy físico y actualmente estoy estudiando física introductoria en la escuela secundaria, pero según mi conocimiento, un Lagrangiano es básicamente la energía cinética menos la energía potencial. En este Lagrangiano entiendo la parte cinética, pero no entiendo la parte potencial. Lo es $-1/2m^2\phi^2 -(1/6)R\phi^2$ o solo $-1/2m^2\phi^2$ ? ¿Se puede acoplar simplemente un escalar de Ricci a un campo escalar como ese?

Además, dado que el escalar de Ricci es igual al tensor de curvatura de Ricci multiplicado por el inverso del tensor métrico, y utilizando algunas identidades, la ecuación de campo de Einstein se puede reorganizar en $R(u,v)=k(T(u,v)-(1/2)Tg(u,v))$ - ¿Cómo se relaciona exactamente el escalar de Ricci con el tensor de momento de energía, en otras palabras, se puede expresar en términos del tensor de momento de energía, digamos la diagonal del tensor de momento de energía (multiplicando la densidad de energía, T00, por los términos de momento ¿T11, T22, T33? Tenga en cuenta que no soy un experto en el campo, pero me gustaría saber más sobre el campo.

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Escalar de Ricci en Campo escalar en espacio-tiempo curvo

Frederic Brunner · Answer 1

Sí, puedes considerar la expresión.

- \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{2} - \frac{1}{6} R ϕ^{2}

$-\frac12m^2\phi^2-\frac16R\phi^2$

como energía potencial. Compáralo con el oscilador armónico: su energía potencial viene dada por un término cuadrático en posición. Entonces, el escalar de Ricci puede interpretarse simplemente como una contribución al cuadrado de la masa del escalar.

Para responder a su pregunta sobre si esto es posible o no: al construir una teoría de campo, uno siempre intenta escribir un Lagrangiano que consta de términos que respetan las simetrías que uno exige de la teoría. El escalar de Ricci es invariante en coordenadas y simple, y como tal es una buena opción para un término en el Lagrangiano.

Con respecto a su última pregunta, considere las ecuaciones de Einstein:

R_{m v} - \frac{1}{2} R {gramo}_{m v} = 8 π T_{m v},

$R_{\mu\nu}-\frac12Rg_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu},$

que relaciona el tensor tensión-energía por componentes con el tensor de Ricci $R_{\mu\nu}$ , la métrica $g_{\mu\nu}$ y el escalar de Ricci. Ahora puede tomar el trazo en ambos lados, en $d$ dimensiones dadas por

\frac{2 - d}{2} R = 8 π T_{m v} {gramo}^{m v} .

$\frac{2-d}{2}R=8\pi T_{\mu\nu}g^{\mu\nu}.$

En 4 dimensiones, esto se reduce a

- R = 8 π (T_{00} {gramo}^{00} + T_{11} {gramo}^{11} + T_{22} {gramo}^{22} + T_{33} {gramo}^{33}),

$-R=8\pi(T_{00}g^{00}+T_{11}g^{11}+T_{22}g^{22}+T_{33}g^{33}),$

cuál podría ser la relación que estás buscando.

Escalar de Ricci en Campo escalar en espacio-tiempo curvo

usuario33941

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Frederic Brunner

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