¿Es posible encontrar soluciones generales para la EDO de Euler-Cauchy de nnn-ésimo orden?

Question

¿Es posible encontrar soluciones generales para la EDO de Euler-Cauchy de nnn-ésimo orden?

análisis
cálculo
Matemáticas
sustitución
ecuaciones diferenciales ordinarias

Empuje

Considerar $n$ Ecuación de Euler-Cauchy de -ésimo orden :

a_{norte} t^{norte} \frac{d^{norte} X}{d t^{norte}} + a_{norte - 1} t^{norte - 1} \frac{d^{norte - 1} X}{d t^{norte - 1}} + \dots + a_{1} t \frac{d X}{d t} + a_{0} X = 0, a_{0} \neq 0, a_{1}, \dots a_{norte} \in R

$\begin{equation} a_nt^n\frac{d^nx}{dt^n}+a_{n-1}t^{n-1}\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\cdots+a_{1}t\frac{dx}{dt}+a_0x=0,\quad a_0\ne0,a_{1},\cdots a_{n}\in\Bbb R \end{equation}$ Me piden que busque soluciones (no estoy seguro de que sean soluciones "generales" o simplemente "especiales") para este sistema. La sugerencia es: pruebe soluciones de la forma

x = t^{λ}

$x=t^\lambda$ . así que dejo

x = t^{λ}

$x=t^\lambda$ y encontrar que

t^{λ} [(a_{norte} norte! (\binom{λ}{norte}) + a_{norte - 1} (norte - 1)! (\binom{λ}{norte - 1}) + \dots + a_{1} (\binom{λ}{1}) + a_{0})] = 0

$t^\lambda\left[\left(a_nn!\binom{\lambda}{n}+a_{n-1}(n-1)!\binom{\lambda}{n-1}+\cdots+a_1\binom{\lambda}{1}+a_0\right)\right]=0$ Ahora está claro que cada

x = t^{λ_{i}}

$x=t^{\lambda_i}$ para cual

λ_{i}

$\lambda_i$ se ajusta a la ecuación anterior es una solución para la EDO. Además, todas las soluciones de la EDO forman un espacio vectorial.

Si solo debo encontrar soluciones especiales, entonces he terminado. Pero no quiero detenerme aquí. Quiero encontrar soluciones generales, si es posible. Lo que me preocupa es el caso de raíces repetidas, digamos, $\lambda_i$ con multiplicidad $n_i$ . Me pregunto si podría extender el resultado de la EDO lineal homogénea de manera análoga a este caso: sería

(C_{1} + C_{2} t + \dots + C_{{norte}_{i}} t^{{norte}_{i} - 1}) t^{λ_{i}}

$(C_1+C_2t+\cdots+C_{n_i}t^{n_i-1})t^{\lambda_i}$ también ser una solución para la ODE? Al principio probé el caso de una ODE de segundo orden con repetidos

λ = - 1

$\lambda=-1$ y funcionó bien, así que me animó. Descubrí que para probar mi conjetura (si es correcta) solo necesitaba mostrar, debido a la linealidad del espacio de soluciones, que

t^{metro} \cdot t^{λ_{i}}, 0 \leq metro \leq {norte}_{i} - 1

$t^m\cdot t^{\lambda_i},\quad 0\le m\le n_i-1$ es una solución Pero cuando lo vuelvo a conectar a la ODE, la ecuación resultante se ve horrible. Así que dudo un poco si estoy en el camino correcto ahora.

Es muy probable que haya hecho un análogo incorrecto aquí. Pero de todos modos, me gustaría que alguien me dijera cómo encontrar la solución general para esta ODE, si es posible.

¡Atentamente!

Svetoslav

Creo que lo que escribiste es una DE lineal ordinaria con coeficientes constantes.

Svetoslav

Y para ello, la sugerencia es buscar la solución de la forma

e^{λ t}

$e^{\lambda t}$ . A partir de ahí, obtienes el polinomio característico y encuentras la base para el espacio lineal de todas las soluciones.

Empuje

@Svetoslav lo siento. me perdí el

t^{k}

$t^k$ factor. arreglado ahora

Respuestas (2)

¿Es posible encontrar soluciones generales para la EDO de Euler-Cauchy de nnn-ésimo orden?

Creo que lo que escribiste es una DE lineal ordinaria con coeficientes constantes.
Y para ello, la sugerencia es buscar la solución de la forma $e^{\lambda t}$ . A partir de ahí, obtienes el polinomio característico y encuentras la base para el espacio lineal de todas las soluciones.
@Svetoslav lo siento. me perdí el $t^k$ factor. arreglado ahora

Julián Aguirre · Answer 1

Si $\lambda$ es una raiz de multiplicidad $k$ , entonces

t^{λ}, (registro t) t^{λ}, \dots, (registro t)^{k - 1} t^{λ}

$t^\lambda,\ (\log t)\,t^\lambda,\dots,(\log t)^{k-1}\,t^\lambda$ son

k

$k$ Soluciones linealmente independientes.

Otra forma de resolver la ecuación de Euler es transformarla en una ecuación con coeficientes constantes mediante el cambio de variable $t=e^s$ .

Ups. Parece que estoy en el camino equivocado. ¡Gracias por la ayuda!

Urgje · Answer 2

Puede ser conveniente reescribir el problema como un conjunto de ecuaciones de primer orden acopladas.

a_{norte} \frac{d^{norte} X}{d t^{norte}} + a_{norte - 1} \frac{d^{norte - 1} X}{d t^{norte - 1}} + \dots + a_{1} \frac{d X}{d t} + a_{0} X = 0

$\begin{equation*} a_{n}\frac{d^{n}x}{dt^{n}}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\cdots +a_{1} \frac{dx}{dt}+a_{0}x=0 \end{equation*}$ Poner

X_{0} = X, X_{1} = \frac{d X}{d t}, \dots X_{norte} = \frac{d^{norte} X}{d t^{norte}}

$\begin{equation*} X_{0}=x,\;X_{1}=\frac{dx}{dt},\cdots X_{n}=\frac{d^{n}x}{dt^{n}} \end{equation*}$ Entonces

X_{norte} = - \frac{1}{a_{norte}} {a_{norte - 1} X_{norte - 1} + \dots a_{0} X_{0}}

$\begin{equation*} X_{n}=-\frac{1}{a_{n}}\{a_{n-1}X_{n-1}+\cdots a_{0}X_{0}\} \end{equation*}$ y

\begin{array}{rcl} \partial_{t} X_{0} & = & X_{1} \\ \partial_{t} X_{1} & = & X_{2} \\ \dots \\ \partial_{t} X_{norte - 1} & = & - \frac{1}{a_{norte}} {a_{norte - 1} X_{norte - 1} + \dots a_{0} X_{0}} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \partial _{t}X_{0} &=&X_{1} \\ \partial _{t}X_{1} &=&X_{2} \\ &&\cdots \\ \partial _{t}X_{n-1} &=&-\frac{1}{a_{n}}\{a_{n-1}X_{n-1}+\cdots a_{0}X_{0}\} \end{eqnarray*}$ O con

X = (\begin{matrix} X_{0} \\ X_{1} \\ \dots \\ X_{norte - 1} \end{matrix})

$\begin{equation*} \mathbf{X}=\left( \begin{array}{c} X_{0} \\ X_{1} \\ \cdots \\ X_{n-1} \end{array} \right) \end{equation*}$ tenemos

\partial_{t} X = A \cdot X

$\begin{equation*} \partial _{t}\mathbf{X}=\mathsf{A}\cdot \mathbf{X} \end{equation*}$ y

X (t) = Exp [A t] X (0)

$\begin{equation*} \mathbf{X}(t)=\exp [\mathsf{A}t]\mathbf{X}(0) \end{equation*}$ Los valores propios de la matriz

A

$\mathsf{A}$ corresponden a las raíces

λ_{j}

$\lambda _{j}$ de la ecuacion

a_{norte} λ^{norte} + a_{norte - 1} λ^{norte - 1} + \dots + a_{0} = 0

$\begin{equation*} a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{0}=0 \end{equation*}$ obtenido por sustitución

x (t) = x (0) \exp [λ t]

$x(t)=x(0)\exp [\lambda t]$ .

Lo siento. Pero lo que me preocupa es la ecuación de Euler-Cauchy, no una $L_n(x)=0$ uno. Había un error tipográfico pero lo arreglé. Mis disculpas.
Eso no cambia el procedimiento general. Si cambia a la nueva variable $u=lnt$ la ecuación en términos de $u$ y sus derivados sigue siendo del mismo tipo excepto que los coeficientes se convierten en combinaciones lineales de algunos de los $a_k$ 's.

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Urgje

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