Resolver ecuaciones diferenciales no lineales con condiciones de contorno

Vamos a intentar otro cambio

$u=1/cf$.

$u'=-f'/cf^2$

$u''=2f'^2/cf^3-f''/cf^2=(2f'^2-ff'')/cf^3$

Así obtenemos:$uu''-u'^2=(2f'^2-ff'')/c^2f^4-f'^2/c^2f^4=(f'^2-ff'')/c^2f^4=1$.

La nueva ecuación es

Según este enlace: Cómo resolver$1+y'^2=yy''$?

Si derivamos esto e integramos obtenemos$u=Ae^{kx}+Be^{-kx}$.

Reportemos en la ecuación inicial [...] y obtengo$4ABk^2=1$, llamemos$\lambda=2Ak$que es arbitrario.

Obtenemos$u=\frac{1}{2k}(\lambda e^{kx}+\frac{1}{\lambda}e^{-kx})$

Y finalmente$f=\frac{2k}{c\space(\lambda e^{kx}+\frac{1}{\lambda}e^{-kx})}$

Nota: hay muchas cosas cuestionables hechas en el camino$u$está resuelta, por lo que es posible que hayamos perdido algunas soluciones, pero al menos desde que informamos en la ecuación inicial las que encontramos, estamos seguros de que lo que encontramos es al menos correcto.

Anexo 02 de enero:

la sustitución$u=1/cf$no plantea problema, puesto que ya existe$f$en el denominador en la expresión original. Lo único delicado que hay, viene de la resolución de$uu′′−u′^2=1$porque derivamos (asumiendo$u$es 3 veces derivable). También dividimos por$uu′′$pero esto no es un problema porque$uu′′=1+u′^2>0$.

Como dijo Han.d.Bruijn, obtenemos una EDO lineal, por lo que se aplica el teorema de unicidad.

Todavía$u''$tiene una expresión que depende sólo de$f,f',f''$entonces$u'''$existe si$f'''$existe, pero$f''$tiene una expresión que depende sólo de$f,f'$para que podamos continuar con la derivación. Por el mismo proceso si se supone$f$es$C^1$entonces se convierte automáticamente$C^\infty$y también lo hace$u$. En consecuencia, podemos estar bastante seguros de que encontramos todas las soluciones al menos$C^1$y que no anulan.