Demostrar que dos soluciones de ecuaciones diferenciales son iguales

En un trabajo reciente tuve que resolver la siguiente ecuación diferencial:

r X ″ ( r ) + r X ′ ( r ) 2 + X ′ ( r ) − 4 r = 0     .

Para hacerlo usé dos métodos y obtuve, usando cada uno, dos soluciones con diferentes expresiones. La solución de la ecuación diferencial es única por lo que esas expresiones deben ser iguales.

Estas son las dos expresiones:

registro ⁡ ( 4 C 1 r 4 + 1 ) + C 2 − 2 registro ⁡ ( r )
y
C 3 + registro ⁡ ( porque ⁡ ( C 4 − 2 i registro ⁡ ( r ) ) )     ,
dónde C 1 , C 2 , C 3 y C 4 son constantes de integración. He estado tratando de probar que esas soluciones son las mismas pero sin suerte. ¿Puede alguien ayudarme?

¿Podría proporcionar también la ecuación diferencial?
@Adolfo Edité la pregunta.
¿Ha tratado de graficar las dos funciones para diferentes opciones de C 1 , … C 4 - sólo para comprobar que estos son realmente los mismos?
@HansEngler Como no conozco la relación entre las constantes de integración de las dos soluciones, no puedo elegir valores arbitrariamente para ellas y esperar que la trama coincida, ¿verdad?
Bueno, podría elegir condiciones de contorno específicas para seleccionar las constantes de integración y luego trazar cada solución.

Respuestas (1)

Aplicar Exp para ambos, exprese las funciones trigonométricas en términos de exponenciales y tome la diferencia. yo obtengo

( 1 2 mi C 3 + i C 4 − 4 mi C 2 C 1 ) r 2 + 1 2 mi C 3 − i C 4 − mi C 2 r 2
Para que esto sea 0 para todos r , necesitas que ambos coeficientes sean 0 . Esto es cierto si
C 1 = 1 4 mi 2 i C 4 ,   C 2 = − en ⁡ ( 2 ) + C 3 − i C 4

Nótese que podemos suponer C 2 = 0 o C 3 = 0 , ya que ambas son constantes aditivas.
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