¿Cómo probar que una función vectorial es constante en algún intervalo?

Observamos que una curva$\gamma(t)$tal que

$\gamma'(t) = \nabla f(\gamma(t)) \tag{1}$

es una trayectoria del flujo de gradiente de la función$f$; es decir, una curva integral del campo vectorial$\nabla f$. Como tal,$\gamma(t)$es consistentemente, en general, cruzando las hipersuperficies niveladas de$f$entonces, en igualdad de condiciones, deberíamos esperar$f$cambiar a lo largo$\gamma$.

Sin embargo, calculamos$df(\gamma(t))/dt$como

$\dfrac{f(\gamma(t))}{dt} = \nabla f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t); \tag{2}$

de esto y (1) encontramos

$\dfrac{f(\gamma(t))}{dt} = \gamma'(t) \cdot \gamma'(t) = \Vert \gamma'(t) \Vert^2 \ge 0, \tag{3}$

con igualdad sosteniéndose precisamente cuando

$\gamma'(t) = 0. \tag{4}$

Así calculamos

$f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) = \displaystyle \int_a^b \dfrac{df(\gamma(s))}{ds}ds = \displaystyle \int_a^b \Vert \gamma'(s) \Vert^2 ds; \tag{5}$

desde

$\gamma(b) = \gamma(a), \tag{5}$

el lado izquierdo de (4) se anula y, por lo tanto, desaparece la integral de la derecha. Esto obliga

$\Vert \gamma'(t) \Vert = 0 \tag{6}$

para$t \in [a, b]$, de donde

$\gamma'(t) = 0 \tag{7}$

allá. Así debemos tener

$\gamma(t) = \vec p, \tag{8}$

una constante, por$t \in [a, b]$.

Nota agregada el martes 27 de junio de 2017 a las 10:43 a. m. PST: este resultado quizás no debería sorprender, ya que la condición$\gamma(a) = \gamma(b)$implica la curva$\gamma(t)$Estos sistemas de gradientes periódicos y no triviales no admiten órbitas periódicas. Además, los s (7), (8) en concierto con (1) muestran que$\nabla f(\vec p) = 0$, es decir,$\vec p$es un punto crítico de$f$. Cuando nos damos cuenta de que$\gamma(t)$simplemente está sentado en un cero del campo vectorial$\nabla f$, las conclusiones alcanzadas tal vez no sorprendan. Sin embargo, la pregunta proporciona una caracterización alternativa potencialmente útil de la situación. Finalmente, eso$\gamma'(t) = 0$implica$\gamma(t)$es constante se sigue del caso unidimensional observando$\gamma(t)$por componentes. Fin de la nota.