¿Es posible derivar la ecuación de Schrödinger de esta manera?

De hecho, uno puede motivar la ecuación de Schrödinger a lo largo de las líneas que sugiere. El punto crucial que te falta es la invariancia del cambio de tiempo de tu sistema cuántico. Esto es lo que te permite escribir$U = \exp(i\alpha\,H\,t)$.

Para explicar más:

1. el hecho de$\psi(t) = U(t) \psi(0)$es simplemente una suposición de linealidad.

2. La evolución provocada por su matriz de transición de estado$U(t)$a lo largo del tiempo n unidades es simplemente el producto matricial de las operaciones de transición individuales sobre 1 unidad, por lo que$U(n) = U(1)^n$para entero$n$. Esto simplemente dice que el operador de evolución para cualquier intervalo de tiempo fijo es el mismo, sin importar cuándo se imparte al estado cuántico (es decir , invariancia de cambio de tiempo ). A la evolución en el mismo experimento no le importa si lo hago ahora o dentro de diez minutos después de tomar mi taza de té (siempre y cuando no derrame té sobre el experimento, digamos). Es una noción copernicana. Argumentando así, y cortando el intervalo de tiempo$t$de diferentes maneras, puede probar rápidamente cosas como$U(p) = U(1)^p$para todo racional$p$y$U(t+s) = U(s)U(t) = U(t) U(s);\,\forall s,t\in\mathbb{R}$. La única función matricial continua con todas estas propiedades es$U = \exp(K t)$, para alguna constante$K$.

3. Ahora se aplica el supuesto de conservación de la probabilidad ("posibilidades plenas"). Esto significa que$U$debe ser unitario - su$U^\dagger U = U U^\dagger = I$. Esto significa$\exp(K t) \exp(K^\dagger t) = \exp(K^\dagger t) \exp(K t) = I$. Asi que$K$y$K^\dagger$debe viajar y$K + K^\dagger = 0$, de donde$K = -K^\dagger$.$K$es así sesgado hermitiano. Ahora cada hermitiano sesgado$K$Se puede escribir como$K = i H$, para algún hermitiano$H$. Y podemos extraer cualquier factor escalar real distinto de cero que nos guste obtener$U(t) = \exp(i\alpha H)$

El resto de su argumento sigue. ¿Cómo obtenemos la interpretación física de$H$? Es simplemente una corazonada. Con un poco de trabajo (convirtiendo la imagen de Schrödinger a la de Heisenberg) puedes demostrar que cualquier observable que conmuta con$H$es constante en el tiempo, sus valores propios no evolucionan.$H$Los valores propios de son así. Entonces, si postulamos que$H$es de hecho un observable$\hat{H}$con su receta completa para la interpretación de medidas en lugar de simplemente un viejo y aburrido operador, entonces todas las estadísticas de sus medidas son constantes en el tiempo. Representa una simetría invariante con el cambio de tiempo. Entonces, por analogía con la energía clásica y el teorema de Noether para la energía clásica, simplemente postulamos que$H = \hat{H} = {\rm energy\, observable}$.

Richard Feynman usa exactamente este enfoque en los primeros capítulos del Volumen 3 de sus Lectures on Physics. Hay un capítulo 7 llamado "La dependencia de la amplitud en el tiempo" en el que lo hace mucho mejor que yo.