Lagrangiano más general en CFT en 0+1D

Clásicamente, una teoría es invariante bajo una transformación si su acción es invariante (hasta los términos de frontera). En nuestro caso, una transformación conforme viene dada por

$$t'=\lambda t\\ Q'=\lambda ^{-\Delta}Q$$ dónde $\Delta$es la dimensión de escala de Q, que es solo su dimensión de energía clásicamente.

Por ahora, supongamos un Lagrangiano con solo el término cinético e inferimos la dimensión. Con este fin, inserte las variables transformadas en la acción.

$$\begin{align} S' &=\int \mathrm{d}t' \frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}Q'}{\mathrm{d}t'} \right)^2 \\ &=\lambda^{-2\Delta-1}S \end{align}$$ Podemos leer de eso $\Delta = -\frac{1}{2}$.

Ahora podemos intentar agregar más términos a nuestro Lagrangiano, pero no queremos incluir términos cinéticos adicionales, por lo que los restringimos para que tengan la forma$g_n Q^n$. Reemplazando estos términos en la acción vemos que se transforman como

$$\mathrm{d}t'\ Q'^n = \lambda^{1+\frac{n}{2}} \mathrm{d}t \ Q^n$$ lo que implica $n=-2$si requerimos invariancia conforme. Demostramos así que el Lagrangiano más general está dado por $$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{Q}^2 - \frac{g}{2Q^2}$$