¿Cómo evaluar directamente la integral de trayectoria para un oscilador armónico mediante el método de fuerza bruta?

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¿Cómo evaluar directamente la integral de trayectoria para un oscilador armónico mediante el método de fuerza bruta?

Física
educación
integral de trayectoria
mecánica cuántica
oscilador armónico
determinantes funcionales

usuario135580

Es fácil evaluar la función de green utilizando el enfoque de integral de trayectoria evaluando la acción clásica y utilizando el método de cálculo funcional. ¿Es posible evaluar la integral de trayectoria para el oscilador armónico directamente evaluando la integral para cada segmento de tiempo hasta el último segmento de tiempo fijo? Es engorroso pero creo que es posible.

usuario2820579

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Respuestas (2)

¿Cómo evaluar directamente la integral de trayectoria para un oscilador armónico mediante el método de fuerza bruta?

qmecanico · Answer 1

Con respecto al oscilador armónico, es bien sabido que después de una rotación de Wick
$t^{mi} \equiv i t^{METRO}$ $t^E ~\equiv~ i t^M$ al tiempo euclidiano, entonces el propagador /núcleo/amplitud de Feynman es $\begin{matrix} (1) & k (X_{2}, t_{2}^{mi}; X_{1}, t_{1}^{mi}) = \sqrt{\frac{metro ω}{2 π ℏ pecado (ω Δ t_{21}^{mi})}} Exp {- \frac{1}{ℏ} S^{mi} (X_{2}, t_{2}^{mi}; X_{1}, t_{1}^{mi})}, \end{matrix}$ $K(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)~=~ \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\hbar \sinh(\omega\Delta t^E_{21}) }}\exp\left\{-\frac{1}{\hbar}S^E(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)\right\},\tag{1}$ dónde $\begin{matrix} (2) & S^{mi} (X_{2}, t_{2}^{mi}; X_{1}, t_{1}^{mi}) = \frac{metro ω}{2} ((X_{2}^{2} + X_{1}^{2}) bata (ω Δ t_{21}^{mi}) - \frac{2 X_{2} X_{1}}{pecado (ω Δ t_{21}^{mi})}) \end{matrix}$ $S^E(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)~=~\frac{m\omega}{2}\left((x_2^2+x_1^2)\coth(\omega\Delta t^E_{21})-\frac{2x_2x_1}{\sinh(\omega\Delta t^E_{21})}\right) \tag{2}$ es la acción sobre caparazón euclidiana de Dirichlet.
Hay muchas formas de establecer la ec. (1) por integración de ruta de fuerza directa/bruta. P.ej:
- El método más pedestre/elemental es quizás insertar un número finito $N$ de relaciones de completitud en la superposición $\langle x_2,t^E_2;x_1,t^E_1 \rangle$ , dividiéndolo así en $N+1$ superposiciones de pasos de tiempo iguales. A continuación, derivar una relación de recurrencia en $N$ , y tomar el límite continuo $N\to \infty$ , véase, por ejemplo, Refs. 4 y 5.
- Evaluar un determinante funcional , véase, por ejemplo, Ref. 2 y esta publicación Phys.SE relacionada. Alternativamente, utilice la fórmula de Gelfand-Yaglom .
- Para $\omega\Delta t^E_{21}\ll 1$ , se pueden utilizar métodos WKB perturbativos.
- Si el propagador/núcleo/amplitud de Feynman $K(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)$ es conocido por la partícula libre, hay un truco ingenioso para derivar $K(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)$ para el oscilador armónico, cf. Árbitro. 3.
Una vez ec. (1) es encontrado, quizás a través de argumentos manuales, hay una forma rigurosa de verificarlo: realice una sola integración gaussiana sobre $x_2$ para comprobar la propiedad integral de la trayectoria
$\begin{matrix} (3) & k (X_{3}, t_{3}^{mi}; X_{1}, t_{1}^{mi}) = \int_{R} d X_{2} k (X_{3}, t_{3}^{mi}; X_{2}, t_{2}^{mi}) k (X_{2}, t_{2}^{mi}; X_{1}, t_{1}^{mi}), \end{matrix}$ $K(x_3,t_3^E;x_1,t_1^E)~=~\int_{\mathbb{R}} \! dx_2~ K(x_3,t_3^E;x_2,t_2^E)~K(x_2,t_2^E;x_1,t_1^E), \tag{3}$ que es la propiedad de firma para una suma sobre historias. La ecuación (3) se sigue directamente de las ecuaciones. (1)-(2), la fórmula de integración gaussiana y las fórmulas de suma para $\coth$ & $\sinh$ .
En particular, si la ec. (1) originalmente solo se estableció por poco tiempo, $\omega\Delta t^E_{21}\ll 1$ , luego se repite la aplicación de la ec. (3) se puede utilizar para establecer la ec. (1) durante mucho tiempo, en el espíritu mismo de la integración camino.

Referencias:

RP Feynman & AR Hibbs, Mecánica Cuántica e Integrales de Trayectoria, 1965; ecuaciones (3.59)-(3.60).
J. Polchinski, Teoría de cuerdas vol. 1, 1998, Apéndice A.
L. Moriconi, Una derivación elemental del propagador del oscilador armónico, Am. J. física. 72 (2004) 1258 , arXiv:física/0402069 . (Consejo de sombrero: OP .)
SM Cohen, Integral de trayectoria para el oscilador armónico cuántico usando métodos elementales , Am. J. física. 66 (1998) 537 .
K. Hira, Eur. J. física. 34 (2013) 777 .

Notas para más adelante: Problema de Landau. Partícula puntual 2D en un campo magnético. Feynman & Hibbs, problema 3-10; Kleinert, subsección 2.23.3, pág. 197. $\quad L~=~\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)- U~\sim~\frac{1}{2}\begin{pmatrix}x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -m d_t^2 & Bd_t \cr -Bd_t& -m d_t^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \cr y \end{pmatrix}$ ; $\quad -U~=~q(A_x \dot{x}+A_y \dot{y})~=~\frac{B}{2}(x \dot{y}-y \dot{x})$ ; $\quad B:=qB_z$ ; Coordenadas de posición $x$ y $y$ no conmutan, por lo que es inconsistente exigir Dirichlet BC para ambos, cf. HUP. En su lugar, impongamos BC periódico.
Notas para más tarde: $\quad \omega~=~\frac{2\pi n}{T}$ ; $\quad n\in \mathbb{N}$ ; $\quad \det\begin{pmatrix} m \omega^2-\lambda & iB\omega \cr -iB\omega& m \omega^2-\lambda \end{pmatrix}~=~0$ ; $\quad \lambda_{\pm}~=~ m \omega^2\pm B\omega$ ; $\quad \begin{pmatrix} -m d_t^2 -\lambda & Bd_t \cr -Bd_t& -m d_t^2 -\lambda \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \cr y \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix}0 \cr 0 \end{pmatrix}$ ; $\quad \begin{pmatrix}x_{\pm} \cr y_{\pm} \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix}\cos/\sin\omega t \cr \sin/\cos\omega t \end{pmatrix}$ ; Valores propios no negativos si $B$ es lo suficientemente pequeño.
Notas para más tarde: $\quad \det^{\prime}~=~\prod_{n\in\mathbb{N}} (m^2\omega^4-B^2\omega^2)~=~\left[\prod_{n\in\mathbb{N}}n\right]^2 \left[\prod_{n\in\mathbb{N}}m^2\omega_1^4\right]\left[\prod_{n\in\mathbb{N}} \left(1-\left(\frac{B}{m\omega_1 n}\right)^2\right)\right]=\frac{T^2}{m}{\rm sinc}\frac{BT}{2m}$ cf. Regularización de la función zeta .
Notas para más adelante: Propagador en la misma posición: $\quad K(x,t^E_2;x,t^E_1)~=~\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\hbar \sinh(\omega\Delta t^E_{21}) }}\exp\left\{ -\frac{m\omega x^2}{\hbar}\tanh\frac{\omega\Delta t^E_{21}}{2}\right\}$ ; Integral de trayectoria: $\quad Z~=~\int_{\mathbb{R}}\!dx~K(x,t^E_2;x,t^E_1)~=~\left(2\sinh\frac{\omega\Delta t^E_{21}}{2}\right)^{-1}~=~\sum_{n\in\mathbb{N}_0}e^{-(n+1/2)\omega\Delta t^E_{21}}$ ;
Notas para más tarde: ¿Qué sucede si agregamos un término fuente? $Jx$ al lagrangiano? Lagrangiano $\quad L_M \sim -\frac{m}{2}x\left(\frac{d^2}{dt_M^2}+\omega^2\right)x+Jx.$ $\quad L_E \sim \frac{m}{2}x\left(-\frac{d^2}{dt_E^2}+\omega^2\right)x-Jx = \frac{m}{2}(x-G_E J)\left(-\frac{d^2}{dt_E^2}+\omega^2\right)(x-G_E J)-\frac{1}{2}JG_E J.$ Función de verdes $\quad G_M(t_M)=-{\rm sgn}(t_M)\frac{\sin(\omega t_M)}{2m\omega}.$ $\quad G_E(t_M)=-{\rm sgn}(t_E)\frac{\sinh(\omega t_E)}{2m\omega}.$
Notas para más tarde: $\quad \langle x_2,t^E_2|x_1,t^E_1\rangle_J = \langle x_2-G_E(t^E_2)J,t^E_2|x_1-G_E(t^E_1)J,t^E_1\rangle_0~\exp\left(\frac{1}{2\hbar}\iint JG_EJ\right).$ Comparar con MS Swanson, Sección 3.2 eqs. (3.19)-(3.21); y Feynman & Hibbs, problema 3-11 eq. (3-66).

jamals · Answer 2

La integral de trayectoria en la mecánica cuántica se puede definir como,

\int_{- \infty}^{\infty} \dots \int_{- \infty}^{\infty} Exp {\frac{i}{ℏ} Δ t \sum_{i} L (X_{i}, \frac{X_{i + 1} - X_{i}}{Δ t}, i)} d X_{0} \dots d X_{norte}

$\int_{-\infty}^\infty \dots \int_{-\infty}^\infty \exp \left \{\frac{i}{\hbar}\Delta t \sum_i L \left(x_i,\frac{x_{i+1}-x_i}{\Delta t}, i \right) \right\} \, \mathrm dx_0 \dots \mathrm dx_N$

donde, como ha señalado el OP, uno 'corta' el tiempo en $N+1$ segmentos y la idea es que el propagador viene dado por el límite formal como $N \to \infty$ . Con base en este artículo , parece que Fujikawa ha establecido la convergencia en la topología del operador de norma, en $\mathcal{B}(L^2(\mathbb R^d))$ siempre que el potencial sea suave con un crecimiento cuadrático como máximo (por ejemplo, un oscilador armónico).

Esto se ha ampliado para mostrar que la convergencia permanece, siempre que existan derivadas en el segundo espacio en $H^{d+1}(\mathbb R^d)$ . Estos resultados muestran que podemos esperar recuperar el propagador original en el límite continuo.

Sin embargo, para cualquier finito $N$ , no podemos esperar hacer nada más que aproximar el propagador; por supuesto, podemos llevar a cabo la integración un número finito de veces de forma sencilla. De hecho, esto es lo que se hace originalmente para notar el patrón que emerge, lo que permite tomar la $N\to\infty$ límite.

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