Topología métrica en conjunto cerrado

Tenía una pregunta sobre la siguiente parte de las notas de clase:

Dejar$(X, d)$Sea un espacio métrico. Entonces para cualquier$\delta > 0$, definimos la bola abierta como$B(x, \delta) := \{y \in X : d(x, y) < \delta\}$.

Una forma de definir conjuntos abiertos de un espacio métrico, es decir, definir la topología métrica es simplemente declarar un conjunto$U$abierto si alrededor de cualquier punto$x \in U$, podemos encontrar una bola abierta$B(x,\delta) \subseteq U$:

Lema 2.4 (Topología métrica). Dejar$(X, d)$Sea un espacio métrico. Definir un conjunto de subconjuntos$τ_d$de la siguiente manera: declaramos$U \subseteq X$estar abierto (esto es, establecemos$U$estar en$τ_d$), si por cada$x \in U$, podemos encontrar algunos$\delta > 0$tal que$B(x, \delta) \subseteq U$. Entonces$τ_d$es una topología y se llama topología métrica.

Una topología en$X$necesita contener X. ¿Qué sucede si el espacio métrico está "cerrado"? por ejemplo si$X=[0,1]$y la distancia habitual en números reales (valor absoluto), entonces para$U=X$y$x=0$no seremos capaces de encontrar un$\delta > 0$tal que$B(x, \delta) \subseteq X$.