La topología uniforme es más fina que la topología del producto en RNRN\mathbb{R}^\mathbb{N}

Deseo mostrar que la topología uniforme es más fina que la topología producto en productos cartesianos contables en$\mathbb{R}$denotado$\mathbb{R}^\mathbb{N}$

Sabemos que ambos espacios son metrizables:

• La métrica en la topología del producto en$\mathbb{R}^\mathbb{N}$se supone que es:

$$d_p(x,y) = \sup_{n\in \mathbb{N}}(\dfrac{1}{n}\min\{1, |x_n-y_n|\})$$

• La métrica en la topología uniforme en$\mathbb{R}^\mathbb{N}$se supone que es:

$$d_u(x,y) = \sup_{n\in \mathbb{N}}(\min\{1, |x_n-y_n|\})$$

No estoy seguro de cómo proceder exactamente, déjame intentar comparar sus bolas métricas:

$$B_\epsilon^p(x) =\{y \in \mathbb{R}^\mathbb{N}| \sup_{n\in \mathbb{N}}(\dfrac{1}{n}\min\{1, |x_n-y_n|\})< \epsilon\}$$

$$B_\epsilon^u(x) =\{y \in \mathbb{R}^\mathbb{N}| \sup_{n\in \mathbb{N}}(\min\{1, |x_n-y_n|\})< \epsilon\}$$

(Estas bolas métricas son aterradoras por decir lo menos...)

Entonces, la topología uniforme es más fina que la topología del producto si para cada conjunto abierto básico en la topología uniforme, podemos ajustar un conjunto abierto básico en la topología del producto, es decir$B^p \subseteq B^u \Leftrightarrow \mathcal{T}^u \subseteq \mathcal{T}^p$

Las bolas métricas son exactamente los conjuntos abiertos básicos.

Entonces el reclamo es$B_\epsilon^p(x) \subseteq B_\epsilon^u(x)$

Intentar:

Arreglar$x$. Llevar$y \in B_\epsilon^p(x)$, entonces$\sup_{n\in \mathbb{N}}(\dfrac{1}{n}\min\{1, |x_n-y_n|\})< \epsilon$... ¿Esto implica necesariamente$\sup_{n\in \mathbb{N}}(\min\{1, |x_n-y_n|\})< \epsilon$? Parece que sería al revés, si$\sup_{n\in \mathbb{N}}(\min\{1, |x_n-y_n|\})< \epsilon$(el tipo más grande es menos que$\epsilon$) entonces$\sup_{n\in \mathbb{N}}(\dfrac{1}{n}\min\{1, |x_n-y_n|\})< \epsilon$(el tipo más pequeño es menos de$\epsilon$)

Estoy confundido, ¿alguien puede ayudarme?