Cómo probar: si x≥0x≥0x \geq 0 y x≤ϵx≤ϵx \leq \epsilon, para todo ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0, entonces x=0x=0x = 0?

Estoy tratando de probar este problema para mi tarea. Tengo algunas dificultades con esto, porque se supone que debemos usar varios axiomas de campo ordenado, los axiomas de cuatro órdenes y varios hechos básicos sobre los números reales. Si alguien puede ayudarme o darme alguna orientación, se lo agradecería mucho. :)

¿usted hizo la tríada para usar el axioma de la tricotomía?
Desde 0 ≤ X ≤ ε para todos ε . Alquiler ϵ ↓ 0 implica que X = 0 .

Respuestas (2)

Elegir ϵ = X / 2 . Qué obtuviste ?

¿Puedo suponer que ϵ = X 2 ? Eso parece un no-no considerando que esto es cierto para todos ϵ > 0 .
@anónimo: si la desigualdad no se cumple para esta elección de épsilon, he encontrado un número positivo que refuta la afirmación de que la desigualdad se cumple para todos los épsilon positivos
Estoy luchando por encontrar una contradicción con ϵ = X 2 . Puedo usar el hecho de que: "para todo x, y y z ∈ R , si x < y y z > 0, entonces xz < yz" podría decir que x es x y y es ϵ y z también ϵ , entonces X 2 2 < X 2 4 , lo cual es una contradicción. ¿Tiene sentido ese tren de lógica?
@anónimo La contradicción en la que estaba pensando es esa configuración ϵ = X / 2 nos da eso X ≤ X 2 entonces X − X 2 ≤ X 2 − X 2 de este modo X 2 ≤ 0 y finalmente X ≤ 0 . Pero X ≥ 0 entonces X debe ser 0
¡Ajá! Veo. Impresionante. Muchas gracias por tu ayuda.

Suponer que X > 0 . Ahora elige un ϵ > 0 tal que ϵ ∈ ( 0 , X )

Cómo probar: si x≥0x≥0x \geq 0 y x≤ϵx≤ϵx \leq \epsilon, para todo ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0, entonces x=0x=0x = 0?
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