¿Por qué inf y sup de conjuntos nulos se definen como infinitos?

Estoy leyendo la definición de i norte F ∅ y s tu pag ∅ .

a) Me pregunto por qué i norte F ∅ = ∞ y s tu pag ∅ = − ∞ . Hubiera esperado que ambos fueran indefinidos.

b) En general, ¿puede algo ser igual a infinito si no está en el sistema de números reales extendido? ¿Debo suponer que están usando números reales extendidos en estas definiciones?

Como regla general, si podemos salirnos con la definición de una expresión (es decir, reglas elegidas sobre cómo ese tipo de expresiones seguirán siendo válidas), entonces las definimos. Entonces, por ejemplo, en combinatoria y teoría elemental de conjuntos podemos justificar 0 ! = 1 y 0 0 = 1 .
Si no está utilizando el sistema extendido de números reales, ¿cuáles son inf R y sorber R ?

Respuestas (4)

Teniendo

(1) inf ∅ = ∞  y  sorber ∅ = − ∞
es esa la única manera de definir inf ∅ y sorber ∅ para que siempre tengas
A ⊂ B ⟹ inf A ⩾ inf B y sorber A ⩽ sorber B .
Y, sí, solo puedes tener ( 1 ) si estamos trabajando con los números reales extendidos.

Sólo una pequeña pregunta: cuando escribes A ⊂ B ¿Permites la posibilidad de que A = B ? Y si es así, ¿hay alguna razón por la que prefieras escribir esto en lugar de escribir A ⊆ B ?
Es, lo permito. Lo hago porque, como la mayoría de los matemáticos, leo “ A ⊂ B " como " A es un subconjunto de B ”. Y por eso nunca uso la notación A ⊆ B (aunque a veces uso A ⊊ B ).

Como han dicho otros, esto supone que estamos trabajando en los reales extendidos.

Sin embargo, al contrario de lo que dijeron los demás, sorber ∅ = − ∞ no es una definición hecha por conveniencia. Es una consecuencia directa de la definición normal del supremo: el límite superior más pequeño del conjunto. Dado que todo es un límite superior del conjunto vacío (todo es más grande que todos sus elementos), el límite superior más pequeño es − ∞ .

Esencialmente lo mismo se aplica al ínfimo.

Puedes suponer que el autor usó la recta numérica real extendida para estas definiciones.

De hecho, aquí hay una motivación para la definición anterior.

Si tienes dos juegos A ⊆ B ⊆ R , entonces quieres que satisfagan

inf A ≥ inf B , sorber A ≤ sorber B .

Puede verificar que esto siempre funciona siempre que ambos A y B no están vacíos.

Queremos que esto siga siendo cierto incluso si aceptamos A = ∅ . Entonces debemos tener

inf ∅ ≥ inf B , sorber ∅ ≤ sorber B
para cualquier conjunto B ⊆ R .

Ya que entonces puedes elegir B = { X } para X ∈ R arbitrariamente grande (o pequeño), nos vemos obligados a definir

inf ∅ = + ∞ , sorber ∅ = − ∞ .

Debe asumir la presencia del "sistema de números reales extendido" al pensar en el ínfimo (sobre el supremo) de un conjunto METRO ⊂ R .

Deberías hacer esto porque es útil. Lo visualizo dinámicamente y sin rigor, de la siguiente manera. El sistema de números reales extendido es una vía de tren o una línea de metro con una terminal occidental en − ∞ y un terminal este en + ∞ .

Mientras se viaja desde el extremo occidental al este, se pasa cada número real.

Ahora el algoritmo de inf es como sigue. Que el tren comience a las − ∞ , y para un conjunto fijo METRO que se coloque una bandera en cada real a ∈ METRO .

Cuando el tren encuentra o golpea la primera bandera, se detiene y declara su salida como el real correspondiente a esa primera bandera. (¿ Por qué esto no es rigurosamente correcto? Considere { a ∈ R : 0 < a < 1 } . )

Pero, en el caso METRO = ∅ , el tren en dirección este nunca encuentra una bandera y continúa hasta el final de la línea, que es + ∞ .

El caso por sorber es similar pero el tren va hacia el oeste saliendo de + ∞ .

Debo mencionar también el caso en que METRO es ilimitado por la izquierda (oeste). En este caso visualizo que el tren no puede salir del terminal oeste, para el caso del algoritmo para inf . De este modo inf METRO = − ∞ .
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