Ecuación geodésica de la conservación de energía-momento

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Ecuación geodésica de la conservación de energía-momento

Física
geodésicas
leyes-de-conservacion
relatividad general
tensión-energía-momentum-tensor

LMP

He estado leyendo la excelente reseña de Eric Poisson que se encuentra aquí . Mientras lo estudiaba me tropecé con una prueba que no puedo hacer... No puedo encontrar una manera de pasar de la Ec. (19.3) a la anterior a la Ec. (19.4) (que no está numerada).

He podido hacer algunos progresos (que presento a continuación), pero no puedo obtener la respuesta correcta... Por favor, que alguien me ayude. Se está volviendo realmente frustrante...

Gracias

Dado el tensor de energía-momento

T^{α β} (X) = metro \int_{γ} \frac{{gramo}^{α}_{m} (X, z) {gramo}^{β}_{v} (X, z) {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}} d_{4} (X, z) d λ,

$T^{\alpha\beta}\left(x\right)=m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}\left(x,z\right)g^{\beta}{}_{\nu}\left(x,z\right)\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda,}$

uno puede tomar su divergencia

\begin{aligned} \nabla_{β} T^{α β} & = metro \int_{γ} \nabla_{β} [\frac{{gramo}^{α}_{m} {gramo}^{β}_{v} {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}} d_{4} (X, z)] d λ = \\ = metro \int_{γ} \nabla_{β} [\frac{{gramo}^{α}_{m} {gramo}^{β}_{v} {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}}] d_{4} (X, z) d λ + metro \int_{γ} \frac{{gramo}^{α}_{m} {gramo}^{β}_{v} {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}} \nabla_{β} [d_{4} (X, z)] d λ . \end{aligned}

$\begin{alignedat}{1}\nabla_{\beta}T^{\alpha\beta} & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda}=\\ & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\right]\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda+m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\nabla_{\beta}\left[\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda.}} \end{alignedat}$

Pero utilizando la ecuación 13.3 de la referencia, se encuentra que la divergencia del tensor de energía-momento también viene dada por

\begin{aligned} \nabla_{β} T^{α β} & = metro \int_{γ} \nabla_{β} [\frac{{gramo}^{α}_{m} {gramo}^{β}_{v} {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}} d_{4} (X, z)] d λ = \\ = metro \int_{γ} \nabla_{β} [\frac{{gramo}^{α}_{m} {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}}] {gramo}^{β}_{v} d_{4} (X, z) d λ - metro \int_{γ} \frac{{gramo}^{α}_{m} {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}} \nabla_{v} [d_{4} (X, z)] d λ, \end{aligned}

$\begin{alignedat}{1}\nabla_{\beta}T^{\alpha\beta} & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda}=\\ & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\right]g^{\beta}{}_{\nu}\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda-m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\nabla_{\nu}\left[\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda,}} \end{alignedat}$

Lo que significa que

metro \int_{γ} \frac{{gramo}^{α}_{m} {gramo}^{β}_{v} {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}} \nabla_{β} [d_{4} (X, z)] d λ = - metro \int_{γ} \frac{{gramo}^{α}_{m} {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}} \nabla_{v} [d_{4} (X, z)] d λ,

$m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\nabla_{\beta}\left[\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda=-m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\nabla_{\nu}\left[\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda,}}$

entonces debe ser cero (corríjame si me equivoco).

Entonces, usando las ecuaciones (5.14) y (13.3), la divergencia del tensor de energía-momento es simplemente

\begin{aligned} \nabla_{β} T^{α β} & = metro \int_{γ} \nabla_{β} [\frac{{gramo}^{α}_{m} {gramo}^{β}_{v} {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}}] d_{4} (X, z) d λ = \\ = metro \int_{γ} \frac{D}{d λ} [\frac{{gramo}^{α}_{m} {\dot{z}}^{m}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}}] d_{4} (X, z) d λ + \\ + metro \int_{γ} \frac{{gramo}^{α}_{m} {\dot{z}}^{m}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}} \nabla_{β} [{gramo}^{β}_{v} {\dot{z}}^{v}] d_{4} (X, z) d λ . \end{aligned}

$\begin{alignedat}{1}\nabla_{\beta}T^{\alpha\beta} & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\right]\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda}=\\ & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{D}{d\lambda}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}\dot{z}^{\mu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\right]\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda}+\\ & \,\,\,+m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}\dot{z}^{\mu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\nabla_{\beta}\left[g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\nu}\right]\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda.} \end{alignedat}$

Si lo que he hecho es correcto, comparando con el resultado de la referencia, el último término debe ser cero. ¿Alguien puede pensar por qué?

Pensé que, dado que la derivada covariante se toma en el punto $x$ entonces $g^{\beta}{}_{\nu}\nabla_{\beta}\dot{z}^{\nu}$ es cero pero entonces, lo que prohíbe $g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\nu}\nabla_{\beta}\dot{z}^{\mu}$ ser igualmente cero?

ana v

Enlace de Eric Poisson roto. prueba esto ? fulviofrisone.com/attachments/article/471/…

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alex nelson · Answer 1

Abusaré un poco de la notación, pero espero que no les resulte terrible. Después de todo, solo abuso de la notación: ¡niños no!

Truco 1: Parametrizar por longitud adecuada. Elegiremos para nuestro parámetro afín $\lambda=s$ la longitud adecuada. Entonces el tensor de energía de tensión se convierte en

\begin{matrix} (1) & T^{α β} (X) = metro \int_{γ} {tu}^{α} {tu}^{β} \frac{d^{(4)} (X, z (s))}{\sqrt{| gramo |}} d s \end{matrix}

$\tag{1}T^{\alpha\beta}(x)=m\int_{\gamma}u^{\alpha} u^{\beta}\frac{\delta^{(4)}\bigl(x,z(s)\bigr)}{\sqrt{|g|}}\,\mathrm{d}s$ dónde

u^{α} = d x^{α} / d s

$u^{\alpha}=\mathrm{d}x^{\alpha}/\mathrm{d}s$ y

g = det g_{μ ν}

$g=\det{g_{\mu\nu}}$ .

Truco 2: Truco de la derivada covariante. Podemos escribir

\nabla_{m} F^{m} = \frac{1}{\sqrt{| gramo |}} \partial_{m} (\sqrt{| gramo |} F^{m})

$\nabla_{\mu}f^{\mu}=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_{\mu}(\sqrt{|g|}f^{\mu})$ por arbitrario

f^{μ}

$f^{\mu}$ .

Ejercicio: Usando la notación de Poisson (13.2) , tenemos

d (X, X^{'}) = \frac{d^{(4)} (X - X^{'})}{\sqrt{| gramo |}} = \frac{d^{(4)} (X - X^{'})}{\sqrt{| {gramo}^{'} |}}

$\delta(x,x') = \frac{\delta^{(4)}(x-x')}{\sqrt{|g|}} = \frac{\delta^{(4)}(x-x')}{\sqrt{|g'|}}$ y usando así nuestro truco de la Derivada Covariante, encuentre

\nabla_{m} d (X, X^{'}) = ? ? ?

$\nabla_{\mu}\delta(x,x')=???$

Esto te dirá que

\int {tu}^{α} {tu}^{β} \nabla_{α} d (X, X^{'}) d s = términos de frontera

$\int u^{\alpha}u^{\beta}\nabla_{\alpha}\delta(x,x')\,\mathrm{d}s = \mbox{boundary terms}$ y por lo tanto podemos ignorarlo.

Comentario 1. Tienes un error al escribir

\begin{aligned} \nabla_{β} T^{α β} & = metro \int_{γ} \nabla_{β} [\frac{{gramo}^{α}_{m} {gramo}^{β}_{v} {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}} d_{4} (X, z)] d λ = \\ = metro \int_{γ} \nabla_{β} [\frac{{gramo}^{α}_{m} {gramo}^{β}_{v} {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}}] d_{4} (X, z) d λ - metro \int_{γ} \frac{{gramo}^{α}_{m} {gramo}^{β}_{v} {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}} \nabla_{v} [d_{4} (X, z)] d λ, \end{aligned}

$\begin{alignedat}{1}\nabla_{\beta}T^{\alpha\beta} & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda}=\\ & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\right]\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda-m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\nabla_{\nu}\left[\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda,}} \end{alignedat}$ Esto debería haber sido una simple aplicación de la regla del producto. Es decir, el signo menos debe ser un signo más.

Observación 2. ¿Por qué deberíamos esperar que el lado derecho de $\nabla_{\beta}T^{\alpha\beta}=0$ ? Bueno, porque usando la ecuación de campo de Einstein es $\nabla_{\beta}G^{\alpha\beta}$ y esto es idénticamente cero .

Es por eso que establecemos

\begin{matrix} (2) & metro \int_{γ} \nabla_{β} [\frac{{gramo}^{α}_{m} {gramo}^{β}_{v} {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}}] d (X, z) d λ = 0. \end{matrix}

$\tag{2}m\int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\right]\delta\bigl(x,z\bigr)\,\mathrm{d}\lambda=0.$ ...que es precisamente la ecuación geodésica para una partícula puntual como se analiza en la sección 3 del artículo de Poisson .

Editar Podemos reescribir (2) ya que ${g^{\alpha}}_{\beta}={\delta^{\alpha}}_{\beta}$ es el delta de Kronecker. Entonces

\begin{matrix} (3) & metro \int_{γ} \nabla_{v} [\frac{{\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{v}}{\sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{z}}^{α} {\dot{z}}^{β}}}] d (X, z) d λ = 0. \end{matrix}

$\tag{3}m\int_{\gamma}\nabla_{\nu}\left[\frac{\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\beta}}}\right]\delta\bigl(x,z\bigr)\,\mathrm{d}\lambda=0.$ Pero si elegimos la longitud de arco como parámetro, esto se vuelve simplemente

\begin{matrix} (4) & metro \int_{γ} \nabla_{v} ({tu}^{α} {tu}^{v}) d (X, z) d λ = 0. \end{matrix}

$\tag{4}m\int_{\gamma}\nabla_{\nu}(u^{\alpha}u^{\nu})\delta\bigl(x,z\bigr)\,\mathrm{d}\lambda=0.$ Genial, pero realmente lo es

\begin{matrix} (5) & \nabla_{v} ({tu}^{α} {tu}^{v}) = 0 ? \end{matrix}

$\tag{5}\nabla_{\nu}(u^{\alpha}u^{\nu})=0?$ Recordemos que para una geodésica usando la parametrización de longitud de arco tenemos

{tu}_{m} {tu}^{m} = 1 ⟹ {tu}_{m} \nabla_{v} {tu}^{m} = 0.

$u_{\mu}u^{\mu}=1\implies u_{\mu}\nabla_{\nu}u^{\mu}=0.$ Así (5), cuando se contrae por un vector no negativo (digamos

u_{α}

$u_{\alpha}$ ) se convierte

\begin{aligned} {tu}_{α} \nabla_{v} ({tu}^{α} {tu}^{v}) & = {tu}_{α} \underset{= 0}{\underset{⏟}{{tu}^{v} \nabla_{v} {tu}^{α}}} + \underset{= 1}{\underset{⏟}{{tu}_{α} {tu}^{α}}} \nabla_{v} {tu}^{v} \\ = \nabla_{v} {tu}^{v} \end{aligned}

$\begin{alignedat}{1}u_{\alpha}\nabla_{\nu}(u^{\alpha}u^{\nu}) &= u_{\alpha}\underbrace{u^{\nu}\nabla_{\nu}u^{\alpha}}_{=0} + \underbrace{u_{\alpha}u^{\alpha}}_{=1}\nabla_{\nu}u^{\nu}\\ &=\nabla_{\nu}u^{\nu}\end{alignedat}$ Pero esta es una ecuación del tipo de continuidad (y si usas el truco 2, ¡realmente se parece a la ecuación de continuidad del electromagnetismo!).

Ahora podemos regresar, y por inspección encontramos

\nabla_{v} ({tu}^{α} {tu}^{v}) = (\begin{matrix} Geodésico \\ Ecuación \end{matrix}) + (\begin{matrix} Continuidad \\ Ecuación \end{matrix}) .

$\nabla_{\nu}(u^{\alpha}u^{\nu})=\left(\begin{array}{c}\mbox{Geodesic}\\ \mbox{Equation}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\mbox{Continuity}\\ \mbox{Equation}\end{array}\right).$ Esto es, por supuesto,

\nabla_{μ} T^{μ ν}

$\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}$ . ¿Por qué deberíamos esperar que sea cero?

Bueno, si las ecuaciones de campo de Einstein se cumplen, entonces

{GRAMO}^{m v} - k T^{m v} = 0

$G^{\mu\nu}-\kappa T^{\mu\nu}=0$ y además

\nabla_{m} ({GRAMO}^{m v} - k T^{m v}) = 0.

$\nabla_{\mu}(G^{\mu\nu}-\kappa T^{\mu\nu})=0.$ Sin embargo,

\nabla_{μ} G^{μ ν} = 0

$\nabla_{\mu}G^{\mu\nu}=0$ idénticamente gracias a la geometría.

Oh, lo siento, escribí mal mis ecuaciones. Los copié, los pegué y me olvidé de editar. No entendía lo que querías decir con la regla del producto ya que lo hice en la primera divergencia. Fue porque la segunda vez que tomé la divergencia escribí mal la ecuación. Creo que lo que hiciste es más riguroso pero lo que hice yo por lo menos no está mal. Encontré la misma ecuación que hiciste al final, pero mi problema es averiguar cómo es que esa es la ecuación geodésica... Gracias por tu tiempo.
@PML: actualicé mi publicación con el razonamiento que me enseñaron en cuanto a que "la ley de conservación para partículas puntuales da la ecuación geodésica". Responde a su pregunta, usando algunos trucos y una notación ligeramente diferente; la respuesta corta es: ecuación de tipo de continuidad + ecuación geodésica = esa última ecuación que tienes.
Gracias por tu tiempo y explicación. Para atar las cosas: después de su muy buena presentación, básicamente dice que la expresión antes de la Ec. (19.4), que no está numerada, en la revisión de Poisson pierde la ecuación de continuidad, ¿verdad?
Correcto, es por eso que aparece como "partes adicionales" que --- a menos que se explique como una ecuación de continuidad --- parece problemático. Punto extra: cuando incluyes el campo electromagnético acoplado a la partícula puntual, obtienes la fuerza de Lorentz gratis de la conservación del tensor de tensión-energía. ¡Este milagro debe ser resuelto por el lector!
¡Esto es realmente emocionante y realmente aparece de la nada! ¿Se conocía ese resultado? Voy a tratar de averiguar los detalles de lo que estás diciendo.
Bueno, la ecuación en cuestión (Eq.3) es de alguna manera como una ecuación de Navier-Stokes para un fluido sin presión y sin fuentes de estrés. El término que llamas continuidad es de alguna manera una fuerza (más exactamente una densidad de fuerza) pero entonces, ¿qué fuerza?
Bueno, la ecuación de continuidad es una ecuación de continuidad honesta cuando trabajamos con un número continuo de partículas; es decir, cuando trabajamos con un fluido perfecto sin presión. ¡El parecido con el Navier-Stokes no es casualidad! En cuanto a dónde encontrar estas cosas, consulte MTW. Puedo dar una referencia más precisa cuando regrese a casa...
Gracias Señor. Has sido de gran ayuda. Gracias enserio. Echaré un vistazo al libro MTW y trataré de entender estos resultados.
@PML: También Problem Book in Relativity and Gravitation tiene algunos ejercicios fantásticos sobre esto, que recomiendo encarecidamente (¡especialmente porque las soluciones están cuidadosamente elaboradas en el libro!).
La primera ecuación es incorrecta, debería decir $\begin{matrix} (1) & T^{α β} (X) = metro \int_{γ} {tu}^{α} {tu}^{β} \frac{d^{(4)} (X - z (s))}{\sqrt{| gramo |}} d s \end{matrix}$ $\tag{1}T^{\alpha\beta}(x)=m\int_{\gamma}u^{\alpha} u^{\beta}\frac{\delta^{(4)}\bigl(x-z(s)\bigr)}{\sqrt{|g|}}\,\mathrm{d}s$ . Una de las siguientes líneas también es incorrecta, es decir $\int {tu}^{α} {tu}^{β} \nabla_{α} d (X, X^{'}) d s = términos de frontera$ $\int u^{\alpha}u^{\beta}\nabla_{\alpha}\delta(x,x')\,\mathrm{d}s = \mbox{boundary terms}$ Esta afirmación no es cierta. Encontré algunos errores más en tu respuesta. Por favor revisa.
@jac Su objeción a la primera ecuación es la diferencia en la notación, no el error. De hecho, está en un error, si se molesta en mirar el artículo de revisión vinculado .
La notación utilizada por Eric Poisson $\delta (x,z)$ es una forma de definir un símbolo delta que se comporta como un escalar mientras se deshace del $\sqrt{-g}$ en el denominador de la $\delta (x-z)$ . te quedas con el factor $\sqrt{-g}$ en el denominador de $\delta (x,z)$ , lo cual no tiene sentido. Si resuelves la segunda fórmula, verás que además de los términos de contorno, surge otro término.

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