Equivalencia de dos definiciones del tensor tensión-energía en la relatividad general

Lo que esencialmente le interesa es la equivalencia entre los tensores de tensión-energía canónicos y de Hilbert.

También se me ocurre que se puede aclarar más el concepto de tensor canónico. No haré muchas pruebas exactas, pero intentaré que las cosas sean "creíbles" para ti.

Leyes de conservación:

Para comprender el tensor canónico, debe comprender las leyes de conservación. En mecánica clásica (no relativista),$Q$es una carga conservada, si$Q$es una funcion

$$Q:T\mathcal C\rightarrow \mathbb R,\ (q,\dot q)\mapsto Q(q,\dot q)$$ en el espacio de fase (en este caso, el espacio de fase de velocidad, pero también puede hacerlo a través del espacio de fase de momento en la mecánica hamiltoniana), satisfaciendo lo siguiente:

Si$q(t)$es una trayectoria que satisface las ecuaciones de movimiento, entonces a lo largo de estas trayectorias

$$\frac{d}{dt}Q(q(t),\dot q(t))=0.$$

En la teoría clásica de campos , una ley de conservación viene dada por una ecuación de continuidad. Si$\rho$es un campo escalar y$\mathbf j$es un campo vectorial, entonces una ecuación de continuidad es de la forma

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf j=0,$$ dónde $\rho$es la densidad de alguna cantidad, y $\mathbf j$es la densidad de corriente o densidad de flujo de la misma cantidad.

Esta ley de conservación es local y puede convertirse en una ley de conservación "global" en la forma de una ley mecánica clásica. Definamos

$$Q(t)=\int d^3x\ \rho(\mathbf x,t),$$ donde la integral se extiende sobre todo el espacio en el tiempo $t$. La derivada temporal de $Q$es entonces $$\frac{dQ}{dt}=\int d^3x\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\int d^3x\ \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf j=-\int_{\partial\mathbb R^3}d\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf j,$$ donde en la última igualdad se ha utilizado el teorema de Gauss. Si la densidad de corriente $\mathbf j$está localizada y no se extiende hasta el infinito, entonces el término de frontera desaparece, por lo que tenemos $dQ/dt=0$.

En la teoría relativista de campos (con$c=1$), una ecuación de continuidad es de la forma

$$\partial_\mu j^\mu=0,$$ dónde $(j^\mu)=(\rho,\mathbf j)$. Esto es exactamente lo mismo que antes, la única información adicional es que la densidad $\rho$y la corriente $\mathbf j$necesitan formar un vector de 4 juntos para ser covariante de Lorentz.

Energía y cantidad de movimiento:

Considere algún campo arbitrario. El campo tiene una energía total$E$. Esta energía es altamente no local, es básicamente la energía de todo el campo, que se extiende por todo el espacio. Esperamos poder asignar a la energía total una densidad local$\rho$y una densidad de corriente$\mathbf S$, satisfactorio

$$E=\int d^3x\ \rho(\mathbf x,t)$$ y $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf S=0.$$

El campo también tiene un impulso total.$\mathbf P$con componentes cartesianos$P^i$. El$i$th componente tiene una densidad de momento$\pi^i$, que satisface

$$P^i=\int d^3x\ \pi^i(\mathbf x,t),$$ y una densidad de corriente $\boldsymbol\sigma^i$, que en conjunto obedecen a la ecuación de continuidad $$\frac{\partial\pi^j}{\partial t}+\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}^j=0.$$ En componentes, esto es $$\frac{\partial \pi^j}{\partial t}+\frac{\partial\sigma^{ij}}{\partial x^i}=0,$$ dónde $\sigma$es un tensor de segundo orden, llamado tensor de tensión.

En relatividad, la energía y el impulso se unifican en un solo 4-vector, el 4-impulso:

$$(p^\mu)=(E,\mathbf p),$$ entonces tenemos la relación unificada $$P^\mu=\int d^3x\ \pi^\mu,$$ y la ecuación de continuidad es $$\frac{\partial\pi^\nu}{\partial t}+\frac{\partial\sigma^{i\nu}}{\partial x^i}=0.$$ Esto es relativistamente invariante, si podemos escribirlo como $$0=\partial_\mu T^{\mu\nu},$$ dónde $T^{\mu\nu}$es un tensor de Lorentz llamado tensor de tensión-energía (o energía-momento), cuyos componentes tienen el siguiente significado: $$T^{00}\text{ - Energy density} \\ T^{0i}\text{ - Momentum density} \\ T^{i0}\text{ - Energy flux density/current density} \\ T^{ij}\text{ - Stress tensor/i-th component of the flux density of the j-th momentum component}.$$

Como puede ver, la interpretación del flujo aparece aquí correctamente.

Teorema de Noether:

Quiero ser breve aquí, ya que esta publicación ya es demasiado larga. Lo siguiente debe quedar claro de un curso de mecánica clásica :

A cada simetría infinitesimal de un sistema físico, le corresponde una carga conservada. Este es el teorema de Noether. En forma matemática, la variación$\delta q^i$es una cuasi-simetría infinitesimal del Lagrangiano$L$, si bajo la variación, se convierte en derivada total:

$$\delta L=\frac{d}{dt}K$$ para alguna función de espacio de fase $K$.

Entonces, el cargo$Q$dada por

$$Q=\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\delta q^i-K$$ se conserva, (tiene $dQ/dt=0$), siempre que se mantengan las ecuaciones de los movimientos.

Es habitual en la mecánica clásica derivar lo siguiente:

• la energia total$E$se conserva, si el sistema es invariante bajo traslaciones de tiempo .

• El impulso total$\mathbf p$se conserva si el sistema es invariante bajo traslaciones espaciales .

En la teoría de campos, usamos una densidad lagrangiana$\mathcal L$para formular teorías. Hay un resultado correspondiente, también llamado teorema de Noether. Denotemos los campos dinámicos por$\phi^a(\mathbf x,t)$. La variación$\delta\phi^a$es una cuasi-simetría del sistema si el Lagrangiano cambia como$\delta\mathcal L=\partial_\mu K^\mu,$dónde$K^\mu$es un campo de 4 vectores. Para tal cuasi-simetría, la corriente

$$j^\mu=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu\phi^a}\delta\phi^a-K^\mu$$ satisface $$\partial_\mu j^\mu=0,$$ siempre que se mantengan las ecuaciones de movimiento.

Si el lagrangiano no tiene una dependencia explícita de las coordenadas del espacio-tiempo, entonces la traducción del espacio-tiempo$x^\mu\mapsto x^\mu+a^\mu$para algún vector constante de 4$a^\mu$es una cuasi-simetría.

Aplicando el teorema de Noether se obtiene que

$$j^\mu=T^\mu_{\ \nu}a^\nu$$ se conserva, donde $$T^\mu_{\ \ \nu}=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu\phi^a}\partial_\nu\phi^a-\delta^\mu_\nu\mathcal L$$ es el tensor tensión-energía canónico.

Si$a^\mu$fue verdaderamente arbitrario, entonces$T$se conserva en el sentido de que$\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$. podemos identificar $T$con el campo tensorial discutido antes, porque es una corriente conservada asociada con las traslaciones del espacio-tiempo, por lo que expresa la energía-momento 4-corriente, que es precisamente lo mismo que consideramos de una manera más heurística antes.

Corrientes equivalentes:

Asumir que$j^\mu$es una corriente de 4. La carga conservada globalmente es

$$Q=\int d^3x\ j^0.$$ Si $\Sigma^{\mu\nu}$es un tensor antisimétrico, entonces $$\tilde{j}^\mu=j^\mu+\partial_\nu\Sigma^{\mu\nu}$$ genera la misma carga $Q$, siempre que $\Sigma$cae en el infinito. ¡Siéntete libre de comprobarlo!

Esto es relevante, porque en general, el tensor canónico$T^{\mu\nu}$no tiene algunas buenas propiedades. Va a

• no ser, en general, simétrico, pero la conservación del momento angular tendría eso (búsquelo);

• no, en general, ser invariante de calibre para las teorías de calibre, lo cual es un gran no-no;

• no, en general, ser sin rastro para campos conformemente invariantes, que si una vez más es un paso en falso.

Para una teoría escalar, el tensor canónico está bien, pero si lo calcula para el campo electromagnético, cometerá los tres delitos que he descrito anteriormente.

Sin embargo, es posible hacer una transformación del tipo que he esbozado anteriormente, para producir un tensor equivalente (en el sentido de que genera las mismas cargas globales conservadas), que satisface las tres propiedades. También hay una forma de realizar esto sistemáticamente, que se llama el tensor de Belinfante-Rosenfeld (¡búscalo!). En realidad, es el tensor de Belinfante, al que es igual el tensor de Hilbert .

El tensor de Hilbert:

Aquí intentaré motivar que el tensor de Hilbert es lo mismo que un tensor equivalente al tensor canónico (equivalencia en el sentido que se ha definido antes).

La ley de conservación covariante para el tensor de Hilbert se puede obtener a partir de un resultado similar al teorema de Noether (esto está relacionado con lo que se llama el segundo teorema de Noether), cuando se aplica a la invariancia del difeomorfismo (invariancia de coordenadas) de GR. Considere un campo de materia$\psi$con lagrangiana generalmente covariante$\mathcal L_m$. la acción es

$$S[\psi,g]=\int d^4x\ \mathcal L_m.$$

Una transformación de coordenadas infinitesimales actúa sobre los campos a través de la derivada de Lie, por lo que si tenemos$x^\mu\mapsto x^\mu+\epsilon \xi^\mu(x)$(con el campo vectorial$\xi^\mu$desapareciendo en la frontera de integración), entonces tenemos$\delta\psi=\mathcal L_\xi\psi$y$\delta g_{\mu\nu}=\mathcal L_\xi g_{\mu\nu}$.

El cambio en la acción es

$$\delta S=\int d^4x\left(\frac{\delta S}{\delta\psi}\delta\psi+\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\delta g_{\mu\nu}\right).$$

Si se satisfacen las ecuaciones de movimiento de la materia, entonces la primera derivada funcional (con respecto a$\psi$) desaparece, por lo que nos queda

$$\delta S=\int d^4x\ \frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\delta g_{\mu\nu}.$$

La acción fue completamente independiente de las coordenadas, por lo que la variación necesariamente se desvanece. La derivada de Lie de la métrica se puede escribir como

$$\mathcal L_\xi g_{\mu\nu}=\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu.$$

Definamos

$$T^{\mu\nu}=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}.$$ tenemos entonces $$\delta S=\int d^4x\sqrt{-g}\frac{1}{2}T^{\mu\nu}(\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu)=\int d^4x\sqrt{-g}\ T^{\mu\nu}\nabla_\mu\xi_\nu=0,$$ donde he utilizado el hecho de que esto $T$es simétrica por diseño. Porque $\xi$desaparece en el límite, podemos reescribir esto como $$0=\delta S=\int d^4x\sqrt{-g}\nabla_\mu T^{\mu\nu}\xi_\nu,$$ y desde $\xi$fue arbitrario, tenemos $$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0.$$

Ahora para motivar la equivalencia con el tensor canónico. No lo demostraré aquí, pero se puede demostrar (esto no es trivial; básicamente, el teorema de Noether en relatividad especial para transformaciones de coordenadas arbitrarias es algo ambiguo), que si, en RS, consideramos una "traducción dependiente del espacio-tiempo" de la forma$x^\mu\mapsto x^\mu+\xi^\mu(x)$en lugar de$x^\mu+a^\mu$(con$a$una constante), la transformación ya no será una simetría , sino que el cambio en la acción viene dado por

$$\delta S=-\int d^4x\ T^{\mu\nu}\partial_\mu\xi_\nu,$$ donde esta $T$es el tensor canónico .

Esto no es una simetría, y$\delta S$no se desvanece, pero si las ecuaciones de movimiento para el campo de materia se mantienen, entonces la variación de la acción se desvanece para variaciones arbitrarias, por lo que todavía tenemos esta expresión desvanecerse. Ahora suponemos que$T$es simétrica (recuerda que podemos modificar$T$de manera que esta relación sigue siendo verdadera), entonces tenemos

$$\delta S=-\int d^4x\ \frac{1}{2}T^{\mu\nu}(\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu).$$ Este es el negativo de la expresión del tensor de Hilbert (en el límite plano del espacio-tiempo, por lo que $\nabla_\mu\rightarrow\partial_\mu$y $\sqrt{-g}\rightarrow 1$).

Veamos qué pasó.

Cuando consideramos la variación de la acción de la materia en GR, tuvimos

$$\delta S=\int d^4x\left( \frac{\delta S}{\delta\psi}\delta\psi+\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\delta g_{\mu\nu}\right),$$ dónde $\delta S/\delta g_{\mu\nu}$fue lo que dio la expresión con el tensor estrés-energía.

Cuando consideramos la variación de la acción de la materia en SR, no variamos la métrica de Minkowski$\eta_{\mu\nu}$. Después de todo, ese era un objeto "fijo". Entonces, la razón por la que no teníamos una simetría es porque "olvidamos" esa variación, por lo tanto, el término

$$-\int d^4x\frac{1}{2} T^{\mu\nu}(\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu)$$ es precisamente el negativo de la $\delta S/\delta g_{\mu\nu}$término, lo que necesitaríamos "agregar" a la variación para obtener simetría.

Por lo tanto, los dos tensores esfuerzo-energía son equivalentes, al menos en el sentido de equivalencia definido anteriormente.

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Editar: mi último punto no está exactamente claro, así que permítanme reformularlo de una manera más precisa.

La acción de la materia$S$en relatividad especial se denota como$S_{SR}$, y el tensor canónico (modificado) como$T^{\mu\nu}_C$. Hemos obtenido (o bien, he dicho, que obtenemos)

$$\delta S_{SR}=-\int d^4x\ \frac{1}{2}T^{\mu\nu}_C(\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu).$$

Por el contrario, si también consideramos la métrica como un campo dinámico, la acción se denota como$S_{GR}$, pero estoy considerando variaciones en torno a un fondo plano . hemos obtenido

$$\delta S_{GR}=\int d^4x\left(\frac{\delta S}{\delta \psi}\delta\psi+\frac{\delta S}{\delta \eta_{\mu\nu}}\delta\eta_{\mu\nu}\right)=\int d^4x\ \frac{\delta S}{\delta\eta_{\mu\nu}}\delta\eta_{\mu\nu}=\int d^4x\frac{1}{2}T^{\mu\nu}_H(\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu)=0,$$ dónde $T^{\mu\nu}_H$es el tensor de Hilbert.

Sin embargo, las dos variaciones difieren precisamente por la variación métrica, por lo que tenemos

$$\delta S_{SR}=\delta S_{GR}-\int d^4x\frac{\delta S}{\delta\eta_{\mu\nu}}\delta\eta_{\mu\nu}=- \int d^4x\frac{\delta S}{\delta\eta_{\mu\nu}}\delta\eta_{\mu\nu},$$ como $\delta S_{GR}=0$, por lo que si inserta las expresiones aquí, puede ver que obtenemos $$-\int d^4x\frac{1}{2}T^{\mu\nu}_C(\partial_\mu\xi+\partial_\nu\xi_\mu)=-\int d^4x\frac{1}{2}T^{\mu\nu}_H(\partial_\mu\xi+\partial_\nu\xi_\mu),$$ por eso $$T_C\approxeq T_H.$$