¿Cuándo se define el tensor esfuerzo-energía como variación de acción con respecto a la métrica conservada?

En realidad, la definición variacional métrica para el tensor tensión-energía (debida a Hilbert, como lo señala Qmecánico) es un procedimiento de mejora universal para el tensor tensión-energía canónico (y por lo tanto no siempre coincide con este último), en un sentido que precisarse a continuación. Este procedimiento es necesario porque el tensor tensión-energía canónico, aunque siempre se conserva, a menudo no satisface otros requisitos físicos como la invariancia de calibre (ya que es una cantidad observable), la simetría (necesaria si queremos que sea una fuente de la fuerza gravitacional). campo) y ausencia de trazas (para teorías invariantes a escala local). Por ejemplo, los tres requisitos fallan para la electrodinámica pura en cuatro dimensiones del espacio-tiempo.

Incluso si se trata de una teoría de campo en el espacio-tiempo de Minkowski, está inevitablemente acoplada a la gravedad simplemente por el hecho de que el Lagrangiano depende de la métrica del espacio-tiempo (tomando aquí el valor particular de la métrica de Minkowski). La dinámica particular de la métrica es irrelevante: todo lo que necesitamos es que no haya otros campos "externos" además de la métrica y que el funcional de acción de campo sea invariante de difeomorfismo.

Dejar$L=L(\phi,g)$ser un campo local Lagrangiano en el espacio-tiempo$(M,g)$, y

$$S_K[\phi,g]=\int_K L(\phi,g)\sqrt{|\det g|}\mathrm{d}x\ ,\quad K\subset M\text{ any bounded region}$$ la correspondiente (familia de) función(es) de acción indexada(s) por $K$como anteriormente). Permitimos $L$tener una dependencia de orden finita pero por lo demás arbitraria de $\phi$y $g$, y sin dependencia explícita del espacio-tiempo ya que queremos que no dependa de ningún otro campo. La variación infinitesimal de $S_K$con respecto a un campo vectorial $X$en $M$(es decir, un difeomorfismo infinitesimal) viene dado por $$\delta_X S_K[\phi,g]=\int_K\left(\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}\delta_X g_{\mu\nu}+\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta \phi^j}\delta_X \phi^j+\nabla_\mu(T^{\mu\nu}X_\nu)\right)\sqrt{|\det g|}\mathrm{d}x\ ,\quad X_\rho=g_{\rho\sigma}X^\sigma\ ,$$ dónde $\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}$y $\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta \phi^j}$son respectivamente las derivadas de Euler-Lagrange (es decir, variacionales) de $L(\phi,g)$con respecto a $g$y $\phi$, $\nabla$es la derivada covariante de Levi-Civita asociada a $g$, $T^{\mu\nu}$es el tensor tensión-energía (canónico o mejorado), $$\delta_X g_{\mu\nu}=\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\nu X_\mu$$ es la mentira derivada de $g$a lo largo de $X$y la variación de campo infinitesimal $\delta_X\phi^j$depende de la forma particular en que levantamos $X$a un campo vectorial proyectable sobre el espacio total del haz de fibras sobre $M$donde los campos $\phi^j$en vivo (por ejemplo, si todos son campos escalares, simplemente tenemos $\delta_X\phi^j=-X\phi^j=-X^\mu\nabla_\mu\phi^j$).

Hay un requisito implícito pero crucial sobre las mejoras admisibles para$T^{\mu\nu}$- a saber, la corriente Noether mejorada$j^\mu(L,X)=T^{\mu\nu}X_\nu$asociado con la supuesta simetría$X$de la acción funcional no sólo debe ser lineal en$X$pero dependen sólo de los valores de los puntos de $X$(llamamos a esta propiedad ultralocalidad ) - por lo tanto, ya la escribimos como una contracción tensorial. Este requisito también afecta en cierta medida a la definición de$\delta_X\phi^j$, pero los detalles de esto no son importantes en lo que sigue. ¿Por qué insistimos en este requisito? Como veremos más adelante, la ultralocalidad destaca una receta de mejora única para$T^{\mu\nu}$que además satisface todos los deseos físicos. Esta idea se aplica de manera más general a cualquier simetría local ; por ejemplo, se puede usar para mejorar la corriente canónica de Noether asociada con las simetrías de calibre locales.

La invariancia del difeomorfismo de la acción funcional significa que requerimos que$\delta_X S_K[\phi,g]=0$ para todos $X,\phi,g,K$. Si, además, los campos$\phi^j$satisfacen las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange, tenemos que

$$2\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\mu(T^{\mu\nu}X_\nu)=\left(2\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}+T^{\mu\nu}\right)\nabla_\mu X_\nu+X_\nu\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0\ .$$ La primera identidad parece trivial, pero de hecho se deriva de la ultralocalidad de la corriente de Noether mejorada, como se explicó anteriormente. Ya que $X$es arbitrario y por lo tanto podemos especificar $X_\nu$y $\nabla_\mu X_\nu$independientemente en cada punto de $M$, obtenemos de un solo golpe:

1. La fórmula variacional deseada para el tensor de tensión-energía mejorado

   $$T^{\mu\nu}=-2\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}$$ y por lo tanto la simetría$T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}$;

2. La ley de conservación covariante$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$;

3. Si la métrica obedece a una dinámica determinada por un Lagrangiano$L_G(g)$, después$T^{\mu\nu}$automáticamente se convierte en la fuente de las ecuaciones métricas de movimiento. Esto también garantiza el cumplimiento del segundo teorema de Noether, como debería ser: la corriente canónica de Noether asociada al lagrangiano total (es decir, métrico + campo) y al$X$todavía se desvanece en el caparazón si el funcional de acción total también es invariante de difeomorfismo.

Aunque no es baladí mostrar,$T^{\mu\nu}$también pasa a ser sin rastro si la teoría de campo exhibe invariancia de escala local.

Si los campos$\phi^j$son todos escalares y$L(\phi,g)$es un lagrangiano de primer orden en$\phi$con una parte cinética tipo Klein-Gordon y que no depende de las derivadas de$g$, después$T^{\mu\nu}$coincide con el tensor tensión-energía canónico. Este ya no es el caso de los campos de espinor, cuyo Lagrangiano suele depender también de las primeras derivadas de la métrica a través de la conexión de espín, de los campos escalares con acoplamiento de curvatura no mínimo, o del campo electromagnético.

La comprensión anterior de la definición variacional métrica del tensor de tensión-energía en toda su generalidad llegó sorprendentemente tarde: M. Forger y H. Römer la desarrollaron minuciosamente ("Currents and the Energy-Momentum Tensor in Classical Field Theory: a Fresh Look at an Old Problem". Ann.Phys. 309 (2004) 306-389, arXiv:hep-th/0307199 ), cuyo trabajo recomendamos encarecidamente para (muchos) más detalles y ejemplos.

Bueno, no puedes tomar ninguna vieja teoría de la materia en el espacio plano de Minkowski y pegarla en un tensor métrico curvo.$g_{\mu\nu}$en el asunto actúa como quieras, si eso es lo que estás insinuando. La advertencia es que la acción de la materia resultante debe ser un funcional invariante de difeomorfismo relativista general de la forma

$$S_{\rm m}[\Phi, g]~=~ \int \! d^4x ~\sqrt{|g|}~ L(\Phi,\nabla\Phi, g ).$$ Entonces se conserva el tensor de tensión-energía-momento (SEM) de Hilbert , cf. por ejemplo, mi Phys.SE responde aquí y aquí .