Acoplamiento de la acción de Hilbert a una acción de materia

… ¿por qué uno simplemente agrega las dos acciones y no agrega una acción de acoplamiento?

Uno agrega acción de acoplamiento. Cuando reemplazamos las derivadas parciales que están presentes en la acción de la materia en el espacio-tiempo plano en coordenadas cartesianas con derivadas covariantes e integramos usando la forma de volumen del espacio-tiempo curvo (este enfoque se denomina acoplamiento mínimo), esto es precisamente la introducción del acoplamiento .

Esto se ve más fácilmente si consideramos la variación de la acción de la materia con una ligera variación de la métrica:$g_{μν}=g^{(0)}_{μν}+δg_{μν}$, que tiene la forma:

$$\delta S_\text{matter}=\frac 12 \int T^{μν} δg_{μν} \sqrt{-g}\,d^4x,$$ dónde$T_{μν}$es el tensor tensión-energía. Si consideramos que el espacio-tiempo de fondo tiene la métrica de Minkowski$g^{(0)}_{μν}=\eta_{μν}$entonces esta variación de la acción materia tiene la interpretación de acción de acoplamiento para un “campo”$δg_{μν}$con la materia a través de la "corriente"$T^{μν}$.

En el nivel de la teoría de la perturbación, esto es completamente análogo a la acción de acoplamiento del electromagnetismo:

$$S_\text{int}= - \int j^μ A_μ \sqrt{-g}\,d^4x.$$ Pero fuera de los campos gravitatorios débiles, debemos considerar que GR es una teoría no lineal y, por lo general, no es posible separar las fuentes y los campos creados por ellos.

Yendo en la dirección opuesta, podríamos "ocultar" la acción de acoplamiento del electromagnetismo introduciendo la derivada covariante de norma para los campos de materia cargada:

$$\partial_μ \to D_μ = \partial_μ -i e A_μ.$$ Al reemplazar todas las derivadas en términos cinéticos con derivadas covariantes de calibre, la acción para la materia cargada ahora contendría un término de interacción.

En general, se debe considerar la invariancia de calibre de la teoría electromagnética y la invariancia de difeomorfismo de GR no solo como una redundancia en la descripción, sino como un mecanismo incorporado para introducir acoplamientos entre la materia y EM o campos gravitatorios.

Por ejemplo, supongamos que quiero escribir la acción de dos cargas que interactúan en teoría puramente electromagnética. Entonces puedo escribir la acción del campo acoplada a dos cargas puntuales junto con la acción de la materia que describe cómo interactúan las cargas con el campo. Luego, para hacer lo mismo en relatividad general, creo que solo necesitaría agregar una acción de materia que proporcione el tensor de momento de energía correcto a la acción de Hilbert, pero no un término de acoplamiento.

En GR, la noción de partícula puntual es internamente inconsistente: si tratamos de meter una masa finita en un volumen lo suficientemente pequeño, esta masa se convierte en un agujero negro, por lo que si bien es posible escribir ecuaciones de movimiento para partículas puntuales de prueba, teniendo en cuenta los campos que generan. están creando requiere algún tipo de esquema de aproximación.

Entonces, expandiendo la acción dentro de la teoría de la perturbación, la parte donde aparece el tensor de tensión-energía sería precisamente el término de acoplamiento.