Tensor de energía-momento en QFT vs. GR

Debe pensar en la forma en que se obtiene la corriente de Noether. Cuando una transformación de simetría infinitesimal se hace dependiente del espacio-tiempo, esos son los parámetros$\omega^a$que controlan la simetría se toman como funciones del punto del espacio-tiempo$\omega^a=\omega^a(x)$, la acción ya no se deja invariante

$$\delta S=-\int d^D x\, J^{a\,\mu}(x)\partial_\mu \omega^a(x)$$ sino que proporciona la definición de la corriente $J^{a\,\mu}$que se conserva en la concha.

Ahora, veamos el caso del tensor de momento de energía: en este caso, las traslaciones$x^\nu\rightarrow x^\nu+\omega^\nu$se hacen locales$x^\nu\rightarrow x^\nu+\omega^\nu(x)$de modo que

$$\delta S=-\int d^D x\, T_\nu^\mu(x)\,\partial_\mu \omega^\nu(x)\,.$$ En realidad, uno busca un tensor simétrico $T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}$para que uno pueda reescribir la expresión anterior en la siguiente forma $$\delta S=-\frac{1}{2}\int d^D x\, T^{\nu\mu}(x)\,(\partial_\mu \omega_\nu(x)+\partial_\nu\omega_\mu)\,.$$ Ahora, aquí está el problema: si tuviéramos que transformar la métrica del espacio-tiempo $g_{\mu\nu}$(igual a $\eta_{\mu\nu}$en el caso que nos ocupa) como si $x^\nu\rightarrow x^\nu+\omega^\nu(x)$fue solo un cambio infinitesimal de coordenadas, es decir $$g_{\mu\nu}\rightarrow g_{\mu\nu}-(\partial_\mu \omega_\nu(x)+\partial_\nu\omega_\mu)\,,$$ luego la acción (coordenadas prestadas independientes por la inclusión de la métrica de la manera habitual, como $d^D x\rightarrow d^D x \sqrt{|g|}\,,\ldots$) quedaría invariante $$\delta S=-\frac{1}{2}\int d^D x\, (\partial_\mu \omega_\nu(x)+\partial_\nu\omega_\mu)\left. \left(\sqrt{|g|}\,T^{\mu\nu}(x)+2\frac{\delta S(x)}{\delta g_{\mu\nu}}\right)\right|_{g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}}=0\,.$$ De esta ecuación se deduce que la corriente asociada con las traslaciones del espacio-tiempo se puede escribir como $$T^{\mu\nu}=\left. -\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\right|_{g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}} \qquad \mbox{evaluated on the bkg }g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}\,.$$ Debería ser evidente que esta definición da un tensor de energía-momento simétrico que coincide con el que aparece en las ecuaciones de Einstein. De la derivación anterior también debe quedar claro que las versiones alternativas de $T_{\mu\nu}$surgen porque la definición de $T^{\mu\nu}$a través de la variación de la acción cuando la traducción se hace dependiente del espacio-tiempo no lo fija únicamente. Por ejemplo, dada una válida $T_{\mu\nu}$, uno siempre puede definir otro $T^{\mu\nu}\rightarrow T^{\mu\nu}_B=T^{\mu\nu}+\partial_\rho B^{\rho\mu\nu}$con un arbitrario $B^{\rho\mu\nu}=-B^{\mu\rho\sigma}$que también da $$\delta S=-\int d^D x\, T^{\mu\nu}(x)\partial_\mu\omega_\nu(x)=-\int d^D x\, T_B^{\mu\nu}(x)\partial_\mu\omega_\nu(x)$$ hasta una integración por partes. Las ecuaciones de Einstein rompen esta degeneración e identifican muy bien "el" tensor de energía-momento.

Sea dada una acción general de materia covariante

$$S~=~ \int \! d^4x~ {\cal L}, \qquad {\cal L}~=~e L, \qquad L~=~L(\Phi,\nabla_a\Phi). \tag{1}$$

La principal estrategia será exigir que los campos de la materia$\Phi^A$llevar índices planos en lugar de curvos$^1$. Esto se logra con la ayuda de un vielbein. $e^a{}_{\mu}$, dónde

$$g_{\mu\nu}~=~e^a{}_{\mu} ~\eta_{ab}~e^b{}_{\nu}, \qquad e^a{}_{\mu}~ E^{\mu}{}_b~=~\delta^a_b, \qquad E^{\mu}{}_a~e^a{}_{\nu}~=~\delta^{\mu}_{\nu}, \tag{2}$$

$$e~:=~\det(e^a{}_{\mu})~=~\sqrt{|g|}, \tag{3}$$

y una conexión de giro $\omega_{\mu}{}^a{}_b$compatible con los símbolos Levi-Civita Christoffel $\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}$,

$$0~=~(\nabla_{\mu}e)^{a}{}_{\nu}~=~\partial_{\mu}e^{a}{}_{\nu} +\omega_{\mu}{}^a{}_b ~e^b{}_{\nu}- e^a{}_{\lambda}~\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}.\tag{4}$$

En otras palabras, la conexión de espín$\omega_{\mu}{}^a{}_b$está dada únicamente por

$$2\omega_{\mu, ab}~=~2\left(-\partial_{\mu}e_{a\nu} +e_{a\lambda}~\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}\right)E^{\nu}{}_b ~=~-\left(\partial_{\mu}e_{a\nu} +\partial_a g_{\mu\nu}\right)E^{\nu}{}_b -(a\leftrightarrow b)$$ $$~=~-\partial_{\mu}e_{a\nu}~E^{\nu}{}_b-\partial_a e_{b\mu} + g_{\mu\nu}~\partial_a E^{\nu}{}_b -(a\leftrightarrow b),\tag{5}$$

$$2\omega_{c, ab}~:=~2E^{\mu}{}_c~\omega_{\mu, ab} ~=~-f_{cab}-f_{abc}-f_{acb}-(a\leftrightarrow b), \tag{6}$$

$$f_{abc}~:=~\partial_a e_{b\nu}~E^{\nu}{}_c . \tag{7}$$

La derivada covariante de los campos de materia es de la forma

$$(\nabla_{\mu}-\partial_{\mu})\Phi^A ~=~ \omega_{\mu}{}^{a}{}_{b} ~(\Delta_a{}^b)^A{}_B~\Phi^B.\tag{8}$$

Debido a la antisimetría de la conexión de espín.$\omega_{c, ab}=-\omega_{c, ba}$, siempre es posible escribir la derivada covariante de los campos de materia como

$$(\nabla_c-\partial_c)\Phi^A ~:=~ E^{\mu}{}_c ~(\nabla_{\mu}-\partial_{\mu})\Phi^A ~=~ \frac{1}{2}\omega_{c,ab} ~(\Sigma^{ab}\Phi)^A,\tag{9}$$ $$(\Sigma^{ab}\Phi)^A~:=~(\Sigma^{ab})^A{}_B~\Phi^B \tag{10}$$

dónde$(\Sigma^{ab})^A{}_B$es una representación de la$so(3,1)$Álgebra de mentira de Lorentz

$$[\Sigma^{ab},\Sigma^{cd}] ~=~ \left(\eta^{bc} \Sigma^{ad} - (a \leftrightarrow b)\right) -(c\leftrightarrow d), \qquad \Sigma^{ab}~=~-\Sigma^{ba}.\tag{11}$$

II) Las ecuaciones covariantes de Euler-Lagrange para los campos de materia$\Phi^A$leer

$$0~\stackrel{m}{\approx}~\frac{\delta S}{\delta \Phi^A} ~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \Phi^A} -{\cal P}^{\mu}_A \stackrel{\leftarrow}{\nabla_{\mu}} , \qquad {\cal P}^{\mu}_A \stackrel{\leftarrow}{\nabla_{\mu}} ~:=~{\cal P}^{\mu}_A \stackrel{\leftarrow}{\partial_{\mu}} -{\cal P}^{\mu}_B~\omega_{\mu,ab}~(\Sigma^{ab})^B{}_A,\qquad \tag{12}$$

donde están los momentos lagrangianos

$${\cal P}^{\mu}_A ~:=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu}\Phi)^A} ~=~E^{\mu}{}_a ~{\cal P}^a_A,\qquad {\cal P}^a_A~:=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial (\nabla_a\Phi)^A}. \tag{13}$$

[Aquí el$\stackrel{m}{\approx}$símbolo significa igualdad módulo materia eoms.]

III) El tensor-densidad de mejora de Belinfante se define como

$$2{\cal B}^{\lambda\mu,\nu} ~:=~{\cal H}^{\lambda,\mu\nu}-{\cal H}^{\mu,\lambda\nu}-{\cal H}^{\nu,\lambda\mu}~=~-(\lambda \leftrightarrow \mu),\tag{14}$$

o inversamente

$${\cal H}^{\lambda,\mu\nu}~=~{\cal B}^{\lambda\mu,\nu}-{\cal B}^{\lambda\nu,\mu}~=~-(\mu \leftrightarrow \nu),\tag{15}$$

dónde

$${\cal H}^{\lambda,\mu\nu}~:=~{\cal H}^{\lambda,ab}~E^{\mu}{}_a~E^{\nu}{}_b\qquad {\cal H}^{\lambda,ab}~:=~{\cal P}^{\lambda}_A~(\Sigma^{ab}\Phi)^A. \tag{16}$$

IV) La variación de la acción de la materia$S$wrt. a los rendimientos vielbein

$$\delta S ~=~\int \! d^4x\left[L~\delta e +e\frac{\partial L}{\partial(\nabla_c\Phi)^A}~ \delta (\nabla_c\Phi)^A\right] ~=~\int \! d^4x\left[L~\delta e +{\cal P}^c_A~\delta (\nabla_c\Phi)^A\right] ,\qquad \tag{17}$$

o,

$$\delta S -\int \! d^4x\left[L~\delta e + {\cal P}^c_A~\delta E^{\mu}{}_c~ \partial_{\mu}\Phi^A\right] ~\stackrel{(17)}{=}~ \frac{1}{2}\int \! d^4x~{\cal P}^c_A~\delta \omega_{c,ab}~(\Sigma^{ab}\Phi)^A$$ $$~\stackrel{(16)}{=}~ \frac{1}{2}\int \! d^4x~{\cal H}^{c,ab}~ \delta \omega_{c,ab} ~\stackrel{(6)+(14)}{=}~\int \! d^4x~{\cal B}^{cb,a}~ \delta f_{cab}$$ $$~=~\int \! d^4x~{\cal B}^{cb}{}_a~ \delta f_c{}^a{}_b ~\stackrel{(7)}{=}~\int \! d^4x~{\cal B}^{\lambda b}{}_a\left[ \partial_{\lambda} e^a{}_{\nu}~\delta E^{\nu}{}_b +\partial_{\lambda} \delta e^a{}_{\nu}~ E^{\nu}{}_b \right].\tag{18}$$

V) El tensor-densidad básico Hilbert SEM$^2$Se define como

$${\cal T}^{\mu\nu}~:=~-2\frac{\delta S_m}{\delta g_{\mu\nu}}, \qquad\qquad(\leftarrow\text{Not applicable!})\tag{19}$$

pero esta fórmula (19) no es aplicable, por ejemplo, a materia fermiónica en un espacio-tiempo curvo. En cambio, la densidad de tensor SEM de Hilbert generalizada se define como

$${\cal T}^{\mu}{}_{\nu} ~:=~-\frac{\delta S}{\delta e^a{}_{\mu}}e^a{}_{\nu} ~=~E^{\mu}{}_a\frac{\delta S}{\delta E^{\nu}{}_a} ~\stackrel{(18)}{=}~\Theta^{\mu}{}_{\nu}+d_{\lambda}{\cal B}^{\lambda\mu}{}_{\nu}, \tag{20}$$

dónde$\Theta^{\mu}{}_{\nu}$es la densidad tensorial canónica SEM

$$\Theta^{\mu}{}_{\nu} ~:=~ {\cal P}^{\mu}_A~\partial_{\nu}\Phi^A- \delta^{\mu}_{\nu}{\cal L}.\tag{21}$$

La última expresión en la ec. (20) es la respuesta a la pregunta de OP sobre la diferencia entre la densidad de tensor SEM de Hilbert (20) y la densidad de tensor SEM canónica (21). Está dada por el tensor-densidad de mejora de Belinfante (14).

IV) La densidad de tensor SEM de Hilbert (20) es simétrica en capa

$${\cal T}^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~{\cal T}^{\nu\mu}, \tag{22}$$

cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí , que también explica la conexión con los teoremas de Noether.

ecuaciones (15), (20) y (22) implican que la parte antisimétrica de la densidad tensorial canónica SEM (21) es

$$\Theta^{\mu\nu}-\Theta^{\nu\mu} ~\stackrel{m}{\approx}~d_{\lambda}{\cal H}^{\lambda,\nu\mu}.\tag{23}$$

Referencias:

1. MJ Gotay & JE Marsden, Tensores de tensión-energía-momento y la fórmula de Belinfante-Rosenfeld , Contemp. Matemáticas. 132 (1992) 367 .

2. M. Forger & H. Römer, Currents and the Energy-Momentum Tensor in Classical Field Theory: Una nueva mirada a un viejo problema, Annals Phys. 309 (2004) 306, arXiv:hep-th/0307199 .

3. LB Szabados, Quasi-Local Energy-Momentum and Angular Momentum in General Relativity, Liv. Rev.Rel. 12 (2009) 4 ; Sección 2.1.1 pág. 11

4. A. Bandyopadhyay, Mejora del tensor de tensión-energía mediante simetrías del espacio-tiempo , tesis doctoral (2001); Capítulo 2 y 3.

(Punta de sombrero para las referencias 1 y 2: David Bar Moshe . Punta de sombrero para las referencias 3 y 4: Konstantin Konstantinov ).

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$^1$Convenciones: En esta respuesta, usaremos$(+,-,-,-)$Convención de signos de Minkowski. Índices griegos$\mu,\nu,\lambda, \ldots,$son los llamados índices curvos , mientras que los índices romanos$a,b,c, \ldots,$son los llamados índices planos . Índices de capitales romanos$A,B,C, \ldots,$denotan múltiples índices planos o espinoriales.

$^2$Una densidad tensorial ${\cal T}^{\mu\nu}=e T^{\mu\nu}$es en este contexto sólo un tensor$T^{\mu\nu}$multiplicado por la densidad$e$.