Equivalencia de acciones de grupo, transitividad y subgrupos conjugados

Algunas definiciones y propiedades preliminares:

acciones de un grupo GRAMO en conjuntos X y Y son equivalentes si la acción correspondiente de GRAMO en mapas de X a Y corrige alguna biyección. En este caso, escribimos X ∼ Y .

Se dice que una acción es transitiva si tiene una sola órbita.

Dada una acción de un grupo GRAMO en un conjunto X ,

el estabilizador , GRAMO X , de X es definido por

GRAMO X = { gramo ∈ GRAMO : gramo X = X } ;

y la órbita , GRAMO X , de X es definido por

GRAMO X = { gramo X : gramo ∈ GRAMO } .

Propiedades:

(i) GRAMO X ⊂ X y GRAMO X ≤ GRAMO ;

(ii) existe una biyección de GRAMO X al espacio coset GRAMO / GRAMO X ; y

(iii) si GRAMO es finito, entonces | GRAMO X | = | GRAMO / GRAMO X | .

El enunciado del problema:

Demuestra lo siguiente:

(a) Para cada subgrupo H de un grupo GRAMO , la acción GRAMO por traslación a la izquierda en el espacio lateral izquierdo GRAMO / H es transitivo.

(b) Cada acción transitiva de un grupo GRAMO en un conjunto X es equivalente a la acción GRAMO por traslación a la izquierda en el espacio lateral GRAMO / GRAMO X , para cada X ∈ X .

(c) Para subgrupos H y k de GRAMO , las acciones de traslación a la izquierda de GRAMO en GRAMO / H y GRAMO / k son equivalentes si y solo si H y k son conjugados.

Donde estoy:

Para la parte (a): La acción de GRAMO por traslación a la izquierda en el espacio lateral izquierdo GRAMO / H tiene una sola órbita y es, por tanto, transitiva. (es decir, desde gramo H = gramo ⋅ H , la órbita de H ∈ GRAMO / H es todo el espacio de coset.) [Entiendo bastante esto. Fue principalmente el resultado de juntar definiciones y propiedades, pero no tiene demasiado sentido intuitivo para mí.]

Para la parte (b): Dado que GRAMO X ⊂ X y estamos considerando acciones transitivas de GRAMO en X (es decir, acciones con una sola órbita), en este caso, GRAMO X = X [No estoy realmente seguro de si esto es cierto, pero parece correcto. Me gustaría poder probarlo, pero parece que no puedo averiguar cómo]. Sabemos que existe una biyección F : GRAMO X → GRAMO / GRAMO X , por lo que también debe darse el caso de que F mapas de X a GRAMO / GRAMO X biyectivamente [Aquí, necesito probar que la acción de GRAMO en F correcciones F , que no sé cómo hacer.] Dado que la acción de GRAMO en F correcciones F , tenemos eso X ∼ GRAMO / GRAMO X , como se desee.

Para la parte (c): He hecho la menor cantidad de progreso en este. Para mostrar que H y k son conjugados, supongo que necesito mostrar que k = gramo H gramo − 1 , para algunos gramo ∈ GRAMO , y H = gramo k gramo − 1 , para algunos gramo ∈ GRAMO . Puedo ver cómo sería este el caso si estos subgrupos fueran norte o r metro a yo en GRAMO , pero parece que no puedo obtenerlo de las suposiciones dadas. Obviamente, esta declaración es bicondicional, así que también tengo que probar la otra dirección; pero estaría feliz de tener al menos One Direction TM .

Respuestas (1)

Dado que me referí a este hilo mientras respondía a otro, también podría responder a este, aunque con más de dos años de retraso. primero si si X es una izquierda GRAMO -establecer, entonces GRAMO actúa sobre X transitivamente si y sólo si GRAMO ⋅ X = X para al menos uno (de donde para cualquiera) X ∈ X .

Para la Parte (a), lo entendiste correctamente. Para la Parte (b), para un fijo X ∈ X , definimos una función F : X → GRAMO / GRAMO X como F ( y ) = gramo GRAMO X , si y ∈ X y gramo ∈ GRAMO satisfacer y = gramo ⋅ X (desde GRAMO actúa sobre X transitivamente, tal elemento gramo ∈ GRAMO existe para cada y ∈ X ). Aquí, GRAMO X es el estabilizador de X , a saber GRAMO X := { gramo ∈ GRAMO | gramo ⋅ X = X } . Necesitamos demostrar que F está bien definido. Suponer que y = gramo ⋅ X y y = h ⋅ X para gramo , h ∈ GRAMO . Tenemos que demostrar que gramo GRAMO X = h GRAMO X . Esto es fácil, ya que

( h − 1 gramo ) ⋅ X = h − 1 ⋅ ( gramo ⋅ X ) = h − 1 ⋅ y = h − 1 ⋅ ( h ⋅ X ) = ( h − 1 h ) ⋅ X = 1 GRAMO ⋅ X = X ,

De dónde h − 1 gramo ∈ GRAMO X , y entonces gramo GRAMO X = h GRAMO X . Inyectividad de F es claro: si F ( y ) = F ( z ) para algunos y = gramo ⋅ X y z = h ⋅ X con gramo , h ∈ GRAMO , entonces gramo GRAMO X = h GRAMO X , o h − 1 gramo ∈ GRAMO X , de donde

y = gramo ⋅ X = ( h h − 1 gramo ) ⋅ X = h ⋅ ( ( h − 1 gramo ) ⋅ X ) = h ⋅ X = z .

Sobreyectividad de F también es inmediato: por gramo ∈ GRAMO , tenemos F ( gramo ⋅ X ) = gramo GRAMO X .

Para la Parte (c), asumimos primero que existe un isomorfismo de la izquierda GRAMO -conjuntos ϕ : GRAMO / H → GRAMO / k . Suponer que ϕ ( H ) = k k para algunos k ∈ GRAMO . Lo sabemos h ∈ H implica que h H = H , entonces

k k = ϕ ( H ) = ϕ ( h H ) = ϕ ( h ⋅ H ) = h ⋅ ϕ ( H ) = h k k .

Esto prueba que k − 1 h k ∈ k para cada h ∈ H . Eso es, k − 1 H k ⊆ k . Por otro lado,

ϕ ( k − 1 H ) = ϕ ( k − 1 ⋅ H ) = k − 1 ⋅ ϕ ( H ) = k − 1 ⋅ ( k k ) = k .

Si t ∈ k , entonces t k = k , entonces

ϕ ( k − 1 H ) = k = t k = t ⋅ k = t ⋅ ϕ ( k − 1 H ) = ϕ ( t ⋅ ( k − 1 H ) = ϕ ( t k − 1 H ) .

Desde ϕ es inyectable, k − 1 H = t k − 1 H , o H = k t k − 1 H , lo que significa k k k − 1 ⊆ H , o equivalente k ⊆ k − 1 H k . Eso es, k = k − 1 H k es un conjugado de H . Por el contrario, si k = k − 1 H k para algunos k ∈ GRAMO , entonces podemos definir un isomorfismo de izquierda GRAMO -conjuntos ϕ : GRAMO / H → GRAMO / k enviando gramo H ↦ gramo k k para todos gramo ∈ GRAMO . No es difícil demostrar que ϕ bien definida, inyectiva, sobreyectiva y compatible con la izquierda GRAMO -acciones sobre GRAMO / H y en GRAMO / k .

Además, si X y Y son transitivos a la izquierda GRAMO -conjuntos, entonces X y Y son isomorfos como la izquierda GRAMO -establece si y solo si, para algunos X ∈ X y y ∈ Y , los subgrupos estabilizadores GRAMO X y GRAMO y son subgrupos conjugados de GRAMO . Esto se sigue inmediatamente de la Parte (b) y la Parte (c) de este problema.

PD Para evitar posibles problemas estúpidos con el conjunto vacío, se supone que todos los conjuntos que aparecen en esta respuesta son inherentemente no vacíos.

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