Entendiendo la prueba de la Desigualdad de Cauchy-Schwarz Usando la Desigualdad AM-GM

La Desigualdad AM - GM establece que la media aritmética de un conjunto de números$a_1,a_2...a_n$, siempre será mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto.

Más formalmente,

$\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{n} \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{a_i}}$

Esto tiene muchas aplicaciones, una de ellas específicamente para probar la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, que establece que para un conjunto$a_1,a_2...a_n$, y un conjunto$b_1,b_2...b_n$, que la suma de los cuadrados de cada conjunto multiplicados entre sí es mayor o igual que el cuadrado del producto escalar de los dos conjuntos.

$\sum_{i=1}^n{a_i^2} \space \times \space \sum_{i=1}^n{b_i^2} \space\space\geq\space\sum_{i=1}^n{a_ib_i}$

Dentro de mi libro de texto, hay una prueba para la desigualdad CS que aplica la desigualdad AM-GM, y no estoy completamente seguro de lo que se hizo para lograr su resultado.

A continuación se muestra la prueba.

Dejar$A =\sqrt{\sum_{i=1}^n{a_i^2}} \space$y$B =\sqrt{\sum_{i=1}^n{b_i^2}} \space$
Aplicando la desigualdad AM-GM, tenemos
$\sum_{i=1}^n{\frac{a_ib_i}{AB}} \leq \sum_{i=1}^n{\frac{1}{2}(\frac{a_i^2}{A^2}+\frac{b_i^2}{B^2})} = 1$
Al multiplicar en cruz...

Luego, la prueba continúa con el álgebra básica para demostrar la desigualdad. Mi pregunta es de dónde vino esa loca ecuación sigma.