Una desigualdad de Cauchy-Schwarz

$\frac{a^2}{\sqrt{c^2+d^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{c^2+d^2}}=1$

y desde${\sqrt{c^2+d^2}}>c,d$la suma siempre es mayor que$1$

Tengo un razonamiento, pero no estoy seguro de que sea correcto, ya que conduce a condiciones de igualdad incorrectas ... ¿tal vez arruiné algunos signos de desigualdad como suele ser el caso?

CS aplicado a$(\frac{a}{\sqrt{c}},\frac{b}{\sqrt{d}})$y$(a\sqrt{c},b\sqrt{d})$da:

$\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{d}\ge\frac{(a^2+b^2)^2}{a^2c+b^2d}$

Así que tenemos suerte si el miembro correcto es mayor que 1, es decir, si:

$a^2c+b^2d\le (a^2+b^2)^2$[1]

Queremos probar que [1] es verdadero bajo las condiciones.

En primer lugar por$C.S$de nuevo en$(a^2,c)$y$(b^2,d)$:

$a^2c+b^2d\le(a^4+b^4)^{1/2}(c^2+d^2)^{1/2}=(a^4+b^4)^{1/2}(a^2+b^2)$[2]

y se puede comprobar que:

$(a^4+b^4)^{1/2}(a^2+b^2)\le (a^2+b^2)^2$[3]

(simplifique y eleve al cuadrado para obtener$(a^4+b^4)\le (a^2+b^2)^2$, equivalente a$a^2b^2\ge 0$)

Combinando [2] y [3] tenemos [1], lo que implica la desigualdad propuesta.

ACTUALIZACIÓN: si se pudo lograr el signo igual, entonces ambas aplicaciones de CS deben mostrar igualdad, es decir, en el primer caso debe existir$\mu$tal que:

$(\frac{a}{\sqrt{c}},\frac{b}{\sqrt{d}})=\mu(a\sqrt{c},b\sqrt{d})$

Esto implica$c=d=y$.

Para la segunda aplicación debe haber$\mu$tal que:

$(a^2,c)=\mu(b^2,d)$

eso implica también$a=b=x$

insertando$x,y$en la condición original vemos que en este caso la condición dice$2x^4=y^2$. Pero en tal caso, el miembro izquierdo de la desigualdad se convierte en$2(\frac{x^4}{y^2})^{1/2}=\sqrt{2}>1$. Esto demuestra que el signo de igualdad nunca se puede lograr. Desde este enfoque, queda una pregunta abierta cuál es la mejor constante a la derecha que ...

Observación 1 :

El teorema se cumple para un cuádruple$(a,b,c,d)$si y solo si también se cumple para$(a',b',c',d')$para cualquier$k>0$dónde$a'=ka$,$b'=kb$,$c'=k^2c$y$d'=k^2d$.

Con base en la observación 1, existen algunos$k>0$tal que$c'^2+d'^2=1$. Por lo tanto, el problema de OP se puede representar de manera equivalente como

Si a, b, c, d son números reales positivos tales que$c^2+d^2=(a^2+b^2)^2=1$, Pruebalo

$$a^2/c+b^2/d \geq1$$ y la igualdad se mantiene iff$ad=bc$.

Este último resultado es fácilmente deducible ya que si$c^2+d^2=1$, entonces$0\le c,d\le 1$y tenemos

Observación

La condición propuesta para la igualdad es incorrecta. Asumir$a=b=c=d=\frac{\sqrt2}{2}$.