Prueba usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Digamos$a_1, a_2, ..., a_n$son números reales positivos y$a_1 + a_2 + ... + a_n = 1$

Tengo que probar la siguiente expresión usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz pero no sé cómo hacerlo.

$\sqrt{{a_1}} + \sqrt{{a_2}} + \dots + \sqrt{{a_n}} \leq \sqrt{n}$

Elegir un segundo conjunto de números reales$b_1 = b_2 = \dots b_n = 1$y aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, obtuve la siguiente desigualdad, que es casi trivial:

$1 \leq \sqrt{n} . \sqrt{{a_1^2}+{a_2^2}+\dots+{a_n^2}}$

pero creo que es un callejón sin salida y no es la forma correcta de demostrarlo.

Por favor, ¿alguna idea?

Muchas gracias de antemano.