¿Puedes probar la desigualdad de reordenamiento usando Cauchy-Schwarz?

Question

¿Puedes probar la desigualdad de reordenamiento usando Cauchy-Schwarz?

desigualdad
Matemáticas
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matemáticas_de_cristal

Para $n$ un entero positivo, sea $(a_1 a_2 ,\ldots, a_n)$ y $(b_l, b_2 ,\ldots, b_n)$ ser dos permutaciones (no necesariamente distintas) de $(1,2, ... ,n)$ . Encuentre límites agudos inferior y superior para $a_1b_1 + \ldots + a_nb_n$

Mi límite superior e inferior son (resp):

\sqrt{\sum a_{i}^{2} b_{i} \sum b_{i}}

$\sqrt{\sum{a_i^2b_i}\sum {b_i}}$

\frac{(\sum \sqrt{a_{i} b_{i}})^{2}}{\sum \sqrt{a_{i}}}

$\dfrac{\bigg(\sum \sqrt{a_ib_i}\bigg)^2}{\sum \sqrt{a_i}}$

Me encantaría saber si podemos mejorar en estos límites. Además, esperaba poder probar la desigualdad de reordenamiento a partir de esto, pero no creo que sea posible ya que a Cauchy-Schwarz no le importa el orden de los términos del producto interno.

Respuestas (1)

¿Puedes probar la desigualdad de reordenamiento usando Cauchy-Schwarz?

Rezha Adrián Tanuharja · Answer 1

Usando Cauchy-Schwarz obtenemos:

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{norte} a_{i} b_{i} & \leq \sqrt{(\sum_{i = 1}^{norte} a_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{norte} b_{i}^{2})} \\ \leq \sum_{i = 1}^{norte} i^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{i=1}^{n}{a_{i}b_{i}}&\leq\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}{b_{i}^{2}}\right)}\\ &\leq\sum_{i=1}^{n}{i^{2}} \end{align}$

La igualdad se da cuando $a_{i}=b_{i}$ es decir, cuando $a_{i}$ y $b_{i}$ están en el mismo orden. Esto se alinea con el límite superior y la condición de igualdad de la desigualdad de reordenamiento.

$\rule{8cm}{0.4pt}$

Ahora necesitamos encontrar el límite inferior. Definir $c_{i}$ tal que $b_{i}=n+1-c_{i}$ . Fácil de ver eso $\left(c_{1},...,c_{n}\right)$ es también una permutación de $\left(1,...,n\right)$ .

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{norte} a_{i} b_{i} & = (norte + 1) \sum_{i = 1}^{norte} a_{i} - \sum_{i = 1}^{norte} a_{i} C_{i} \\ \geq (norte + 1) \sum_{i = 1}^{norte} i - \sum_{i = 1}^{norte} i^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{i=1}^{n}{a_{i}b_{i}}&=\left(n+1\right)\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}-\sum_{i=1}^{n}{a_{i}c_{i}}\\ &\geq\left(n+1\right)\sum_{i=1}^{n}{i}-\sum_{i=1}^{n}{i^{2}} \end{align}$

La igualdad se da cuando $a_{i}=c_{i}$ es decir, cuando $a_{i}$ y $b_{i}$ están en orden inverso. Una vez más, alinear con la desigualdad de reordenamiento.

Supongo que en este caso especial es posible obtener un límite que se alinee con el RI

¿Puedes probar la desigualdad de reordenamiento usando Cauchy-Schwarz?

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Respuestas (1)

Rezha Adrián Tanuharja

matemáticas_de_cristal

¿Es verdadera la siguiente generalización de la desigualdad de Cauchy-Schwarz?

Desigualdad usando Cauchy Schwarz

Usando Cauchy-Schwarz para probar la desigualdad

Prueba usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Demostración de una desigualdad tipo Cauchy-Schwarz

Una desigualdad de Cauchy-Schwarz

Pregunta: Usar la Desigualdad de Cauchy-Schwarz para comparar entre 2 expresiones

Uso de la desigualdad de reordenamiento.

¿Puede el Cauchy Schwarz invertirse, teniendo ∥a∥2∥b∥2≤K⟨a,b⟩2‖a‖2‖b‖2≤K⟨a,b⟩2\|a\|^2\|b \|^2\le K \langle a,b\rangle^2?

Entendiendo la prueba de la Desigualdad de Cauchy-Schwarz Usando la Desigualdad AM-GM