Duda en la solución aportada a una cuestión de desigualdad

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Duda en la solución aportada a una cuestión de desigualdad

desigualdad
Matemáticas
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saisanjeev

Tengo la siguiente pregunta conmigo:

Los números $x_1, x_2, . . . , x_n$ cumplir $−1 \leq x_1, x_2, . . . , x_n \leq 1$ y

X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + . . . + X_{norte}^{3} = 0

$x_1^3 + x_2^3 + ... + x_n^3 = 0$ Pruebalo

X_{1} + X_{2} + \cdot \cdot \cdot + X_{norte} \leq \frac{norte}{3}

$x_1 + x_2 + · · · + x_n ≤ \frac{n}{3}$

Proporcionan la siguiente solución:

Sustituto $y_i = x_i^3$ de modo que $y_1 + ... + y_n = 0$ y queremos maximizar $y_1^{1/3} + y_2^{1/3} + ... + y_n^{1/3}$ observamos la concavidad/convexidad de la función $f(y) = y^{1/3}$ y por lo tanto podemos poner

y_{1} = . . . = y_{k} = - 1

$y_1=...=y_k=-1$

Desde aquí no pude seguir la solución. ¿Cómo podemos simplemente poner los números anteriores? ¿Cómo ayuda en la solución?

Fuente de la pregunta y solución: https://robertkosova.files.wordpress.com/2018/09/olympiad-inequalities-thomas-mildorf-2006.pdf Pregunta número 15 solución 1

Respuestas (3)

Duda en la solución aportada a una cuestión de desigualdad

jfeliz · Answer 1

Con esta función que no es ni cóncava ni convexa, queremos separar los valores en algunos lugares y unirlos en otros. Los estamos separando por negativa $x$ , y $-1$ es lo más lejos que podemos llegar en ese caso.

Ahora bien, ¿qué haría yo con este? Comience con esa misma sustitución $y_i=x_i^3$ . Deseamos maximizar $\sum_i y_i^{1/3}$ dado $\sum_i y_i = 0$ y $-1\le y_i\le 1$ .

Para hacerlo, encontraremos una función lineal (afín) $g$ de modo que $y^{1/3}\ge g(y)$ para todos $y\in[-1,1]$ , y $g$ es lo más grande posible. Este $g$ tocará la gráfica de $y^{1/3}$ dos veces, cruzando en $-1$ y siendo tangente a ella en algún punto positivo $c$ . Ahora, $g(y)-y^{1/3}=ay-y^{1/3}+b$ es un polinomio cúbico en $y^{1/3}$ . Sabemos que tiene una raíz en $y=-1$ y una raíz doble en $y=c$ , por lo que podemos escribir su forma factorizada:

a y - y^{1 / 3} + b = gramo (y) = a (y^{1 / 3} + 1) (y^{1 / 3} - C^{1 / 3})^{2} = a (y + (1 - 2 C^{1 / 3}) y^{2 / 3} + \dots)

$ay-y^{1/3}+b = g(y) = a(y^{1/3}+1)(y^{1/3}-c^{1/3})^2 = a\left(y+(1-2c^{1/3})y^{2/3}+\cdots\right)$ Igualando el

y^{2 / 3}

$y^{2/3}$ coeficientes,

1 - 2 c^{1 / 3} = 0

$1-2c^{1/3}=0$ y

c = \frac{1}{8}

$c=\frac18$ . la línea entre

(- 1, - 1)

$(-1,-1)$ y

(\frac{1}{8}, \frac{1}{2})

$(\frac18,\frac12)$ tiene pendiente

\frac{3 / 2}{9 / 8} = \frac{4}{3}

$\frac{3/2}{9/8} = \frac43$ , entonces

g (y) = \frac{4}{3} y + \frac{1}{3}

$g(y)=\frac43y+\frac13$ .

Muy bien, ahora tenemos eso. $\frac43y + \frac13 \ge y^{1/3}$ para todos $y\in [-1,1]$ . Aplicar esto a cada $y_i$ y toma la suma:

\sum_{i = 1}^{norte} y_{i}^{1 / 3} \leq \sum_{i = 1}^{norte} (\frac{4}{3} y_{i} + \frac{1}{3}) = \frac{4}{3} (\sum_{i = 1}^{norte} y_{i}) + \frac{norte}{3} = \frac{norte}{3}

$\sum_{i=1}^n y_i^{1/3} \le \sum_{i=1}^n \left(\frac43y_i+\frac13\right) = \frac43\left(\sum_{i=1}^ny_i\right) +\frac n3 = \frac n3$ Y eso es. La igualdad se da cuando cada

y_{i}

$y_i$ es igual a cualquiera

- 1

$-1$ o

\frac{1}{8}

$\frac18$ , lo cual es posible si

n

$n$ es divisible por

9

$9$ ; por otro

n

$n$ , hay un límite ligeramente más fuerte que es difícil de calcular con exactitud.

Estoy bastante seguro de haber visto este problema antes. Mirando hacia atrás, esa sustitución realmente no hizo mucha diferencia. Estoy bastante seguro de que no lo usé la primera vez que traté con este.

He corregido el caso de igualdad, pero sigue siendo algo que sucede para un número infinito de $n$ . Su límite reclamado no puede ser uniformemente cierto.
(+1) Este límite es correcto. había calculado mal el mejor $\lambda$ en mi respuesta
Tengo algunos problemas para entender la primera declaración de su solución...
No es crítico para nada más; esa primera declaración es una heurística de por qué el máximo debería ocurrir en el lugar donde ocurre, y no se usa directamente en el material que sigue. Si estamos tratando de maximizar $\sum_i f(x_i)$ para fijo $\sum x_i$ y una función cóncava $f$ , la desigualdad de Jensen significa que la $x_i$ todos deben estar lo más juntos posible. Si $f$ es convexa en cambio, lo contrario de la desigualdad de Jensen significa que la $x_i$ deben estar lo más separados posible. Para una función que combina convexidad y concavidad, obtenemos una combinación de los dos comportamientos.

especialmente lima · Answer 2

Supongamos que tenemos un conjunto de valores de $y_1,\ldots,y_n$ sumando a $0$ que maximizan $\sqrt[3]{y_1}+\cdots +\sqrt[3]{y_n}$ .

Suponer $-1<y_i<y_j\leq 1$ . Si $y_i+y_j<0$ luego restando una pequeña cantidad de $y_i$ y añadiéndolo a $y_j$ aumenta la suma de raíces cúbicas, contradicción. Si $y_i+y_j>0$ entonces podemos restar de $y_j$ y agregar a $y_i$ , aumentando la suma de las raíces cúbicas, nuevamente una contradicción. Finalmente, si $y_i+y_j=0$ podemos reemplazar ambos por $0$ sin cambiar la suma de las raíces cúbicas, entonces debe haber un nuevo par $y_i<y_k$ con suma $>0$ , que tratamos como arriba.

Por lo tanto, para maximizar la suma de las raíces cúbicas, debemos tener algún número $k$ de $-1$ términos y todos los demás iguales. El orden no importa, por lo que podemos asumir el primero $k$ son $-1$ y el resto igual - claramente esto significa que cada uno de los otros es $\frac{k}{n-k}$ . Ahora sólo tenemos que comprobar qué valor de $k$ funciona mejor.

¿Puedes explicar ese paso en el que restas una pequeña cantidad de uno de ellos y lo sumas al otro?
@saisanjeev si cambias $x$ por un pequeño valor $\delta$ , entonces $\sqrt[3]{x}$ cambios por aproximadamente $\delta$ veces la derivada, es decir $\frac13x^{-2/3}\delta$ (para $x\neq 0$ ). Este es un cambio más grande cuanto más cerca $x$ llega a $0$ . Entonces, si agrega una pequeña cantidad a cualquiera de $y_i,y_j$ está más cerca de cero, y lo restamos del otro, la suma hace una diferencia mayor a $\sqrt[3]{y_i}+\sqrt[3]{y_j}$ que la resta, por lo que el total aumenta.
¡Gracias! Pero en la solución, ¿por qué ha asignado un valor arbitrario a $y_{k+1}$ ?

robarjohn · Answer 3

Queremos

\begin{matrix} (1) & \sum_{k = 1}^{norte} d X_{k} = 0 \end{matrix}

$\sum_{k=1}^n\delta x_k=0\tag1$ para todos

δ x_{k}

$\delta x_k$ de modo que

\begin{matrix} (2) & \sum_{k = 1}^{norte} X_{k}^{2} d X_{k} = 0 \end{matrix}

$\sum_{k=1}^nx_k^2\,\delta x_k=0\tag2$ En el borde,

x_{k}^{2} = 1

$x_k^2=1$ , y en el interior, la ortogonalidad requiere

x_{k}^{2} = λ^{2}

$x_k^2=\lambda^2$ , para algunos

0 \leq λ < 1

$0\le\lambda\lt1$ .

Dejar $k$ Sea la suma de los signos de los $x_k^2=1$ y $m$ Sea la suma de los signos de los $x_k^2=\lambda^2$ . entonces dado

\begin{matrix} (3) & k + metro λ^{3} = 0 \end{matrix}

$k+m\lambda^3=0\tag3$ queremos maximizar

\begin{matrix} (4) & k + metro λ = metro (λ - λ^{3}) \end{matrix}

$k+m\lambda=m\!\left(\lambda-\lambda^3\right)\tag4$ De lo cual, podemos ver que

m \geq 0

$m\ge0$ y

k \leq 0

$k\le0$ . También tenemos

j = m - k \leq n

$j=m-k\le n$ .

De $(3)$ , tenemos $k=-j\frac{\lambda^3}{1+\lambda^3}$ y $m=j\frac1{1+\lambda^3}$ . Así, el máximo de $(4)$ es

\begin{matrix} (5) & \sum_{k = 1}^{norte} X_{k} = k + metro λ \leq \frac{λ - λ^{3}}{1 + λ^{3}} j \leq \frac{1}{3} norte \end{matrix}

$\sum_{k=1}^nx_k=k+m\lambda\le\frac{\lambda-\lambda^3}{1+\lambda^3}\,j\le\frac13\,n\tag5$ donde el maximo

\frac{λ - λ^{3}}{1 + λ^{3}} = \frac{1}{3}

$\frac{\lambda-\lambda^3}{1+\lambda^3}=\frac13$ se alcanza en

λ = \frac{1}{2}

$\lambda=\frac12$ .

Un contraejemplo a su supuesta desigualdad: $n=1$ , $x_1=-1$ , $x_2=x_3=\cdots=x_9=\frac12$ . la suma de los $x_n$ en ese caso es exactamente $3=\frac n3$ .
he arreglado donde $\lambda$ está optimizado. me sale lo mismo $\lambda=\frac12$ ahora.
$\frac{\lambda-\lambda^3}{1+\lambda^3}=\frac13-\frac{4(2\lambda-1)^2}{3(2\lambda-1)^2+9}$
Para una dada $n$ , elegir $m\approx\frac{8n}9$ y $k\approx-\frac{n}9$ y establecer $\lambda=\left(-\frac km\right)^{1/3}$ .

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