Pregunta: Usar la Desigualdad de Cauchy-Schwarz para comparar entre 2 expresiones

Question

Pregunta: Usar la Desigualdad de Cauchy-Schwarz para comparar entre 2 expresiones

suma
desigualdad
Matemáticas
polinomios simétricos
cauchy-schwarz-desigualdad

ayúdame

Utilice la desigualdad de Cauchy-Schwarz para determinar si $a^2+b^2+c^2$ es mayor que/menor que/igual a $ab+bc+ac$ , dónde $a,b,c$ son enteros y $a<b<c$ .

Desigualdad de Cauchy-Schwarz:

(\sum_{i = 1}^{norte} a_{i} b_{i})^{2} \leq (\sum_{i = 1}^{norte} a_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{norte} b_{i}^{2})

$(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2 \leq {\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right ) \left ( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right ) }$

Mi intento:
$n=3$
$a_1=\sqrt{ab}$ , $a_2=\sqrt{bc}$ , $a_3=\sqrt{ac}$
$b_1=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ , $b_2=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}$ , $b_3=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}$
Conectándolo,

a b + b C + a C + \frac{a}{b} + \frac{b}{C} + \frac{C}{a} \geq a^{2} + b^{2} + C^{2}

$ab+bc+ac+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq a^2 + b^2 + c^2$
Hay

3

$3$ fracciones no deseadas. ¿Hay alguna forma de eliminarlos?

Respuestas (3)

Pregunta: Usar la Desigualdad de Cauchy-Schwarz para comparar entre 2 expresiones

izquierda · Answer 1

debemos establecer $a_1=b_3=a, a_2=b_1= b$ y $a_3=b_2=c$ en la desigualdad de Cauchy-Schwarz, para obtener:

(a b + b C + C a)^{2} \leq (a^{2} + b^{2} + C^{2}) (b^{2} + C^{2} + a^{2}) = (a^{2} + b^{2} + C^{2})^{2}

$(ab+bc+ca)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)=(a^2+b^2+c^2)^2$

y por lo tanto:

a^{2} + b^{2} + C^{2} \geq | a b + b C + C a | \geq a b + b C + C a

$a^2+b^2+c^2\geq |ab+bc+ca|\geq ab+bc+ca$

Por supuesto, no necesitamos ninguna restricción sobre $a,b,c$ (no tienen que ser números enteros ni ordenados, pueden ser cualquier número real).

Pedro Szilas · Answer 2

Producto escalar:

$|(u,v)|\le ||u||$ $||v||$ .

$|(a,b,c)\cdot (c,a,b)|\le$

$||(a,b,c)||$ $||(c,a,b)||$ ;

$ac+ba +bc \le |ac+ba+bc|\le$

$a^2+b^2+c^2.$

miguel rozenberg · Answer 3

\sum_{C y C} (a^{2} - a b) = \frac{1}{2} \sum_{C y C} (a - b)^{2} > 0.

$\sum_{cyc}(a^2-ab)=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(a-b)^2>0.$

Podemos conseguirlo también, por CS:

(1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) (a^{2} + b^{2} + C^{2}) \geq (a + b + C)^{2},

$(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2,$ que es nuestra desigualdad.

Pregunta: Usar la Desigualdad de Cauchy-Schwarz para comparar entre 2 expresiones

ayúdame

Respuestas (3)

izquierda

Pedro Szilas

miguel rozenberg

Desigualdad simétrica sobre 3 variables con restricción a+b+c=1a+b+c=1a+b+c=1

Uso de la desigualdad de reordenamiento.

¿Cómo deducir la desigualdad de Cauchy-Schwarz a partir de esta desigualdad?

Producto de la media aritmética y la media armónica inversa

¿Es verdadera la siguiente generalización de la desigualdad de Cauchy-Schwarz?

Desigualdad usando Cauchy Schwarz

Usando Cauchy-Schwarz para probar la desigualdad

Una desigualdad que involucra sumas y productos.

Demostrar ∏nk=1(1+ak)≤1+2∑nk=1ak∏k=1n(1+ak)≤1+2∑k=1nak\prod_{k=1}^n(1+a_k)\ leq1+2\sum_{k=1}^n a_k

Prueba usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz