Desigualdad de función convexa más cóncava

Dado que la función$g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$es decreciente cuando$x\geq 0$, para$\frac12\leq x\leq 1$tenemos

$$f(x)+f(1/x)=e^{g(x)}+e^{g(1/x)}\leq e^{g(\frac12)}+e^{g(1)}=e^{2\ln\frac32}+e^{\ln 2}=\frac92<4.$$ Asimismo, en el caso $\frac{1}{10}\leq x<\frac12$tenemos $$f(x)+f(1/x)=e^{g(x)}+e^{g(1/x)}\leq e^{g(\frac{1}{10})}+e^{g(2)}=e^{10\ln\frac{11}{10}}+e^{\frac12\ln3}=\left(\frac{11}{10}\right)^{10}+\sqrt3<4.$$ Finalmente, para $0<x<\frac{1}{10}$tenemos $$f(x)+f(1/x)=e^{g(x)}+e^{g(1/x)}\leq e^{g(0)}+e^{g(10)}=e+e^{\frac{\ln 11}{10}}=e+\sqrt[10]{11}<4.$$

$$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\le4$$

es en realidad:

$$(1+x)^{\frac1x} + (1+\frac1x)^x\le 4$$

Se puede escribir de la siguiente forma:

$$(1+a)^b + (1+b)^a\le 4,\quad ab=1$$

$$(1+\frac1b)^b + (1+\frac1a)^a\le 4,\quad ab=1$$

Función$f(x)=(1+\frac1x)^x$es cóncava por lo que podemos aplicar Jensen:

$$f(a)+f(b)\le2f(\frac{a+b}{2})$$

$$(1+\frac1b)^b + (1+\frac1a)^a\le 2\left(1+\frac1{\frac{a+b}{2}}\right)^{\frac{a+b}2}$$

...o por AM-GM:

$$(1+\frac1b)^b + (1+\frac1a)^a\le 2\left(1+\frac1{\sqrt{ab}}\right)^{\frac{a+b}2}=2\cdot2^{\frac{a+b}2}$$

Es fácil probar esa expresión$\frac{a+b}2$con restricción$ab=1$alcanza el valor mínimo de 1 para$a=b=1$. Por lo tanto:

$$LHS\le4$$

...con igualdad solo para$a=b=x=1$.