Demostración de una desigualdad tipo Cauchy-Schwarz

Para números reales$x_1,\ldots,x_n$y$y_1,\ldots,y_n$con

$$x_1,y_1>0,\ x_1^2>x_2^2+\ldots+x_n^2,\ y_1^2>y_2^2+\ldots+y_n^2,$$ muestra esa $$x_1y_1-x_2y_2-\ldots-x_ny_n \geq \sqrt{(x_1^2-x_2^2-\ldots-x_n^2)(y_1^2-y_2^2-\ldots-y_n^2)}$$ y determinar las condiciones necesarias y suficientes para que se dé la igualdad.

Así que esta desigualdad (quizás obviamente) proviene del álgebra lineal lorentziana. En particular, la desigualdad de Cauchy-Schwarz para la norma de Lorentz. La prueba que vi en realidad simplificó considerablemente el problema al suponer sin pérdida de generalidad que$y=(1,0,0,\ldots,0)$(si no recuerdo mal). Este 'wlog' estaba justificado por un lema que habíamos probado anteriormente, que el grupo de Lorentz positivo actúa transitivamente sobre$m$- subespacios dimensionales similares al tiempo de$n$espacio hiperbólico bidimensional, que en sí mismo estaba algo involucrado, utilizando la ortonormalización de Gram-Schmidt en la demostración.

Dicho esto, me gustaría saber si hay pruebas algebraicas directas de esto, ya que en sí mismo es solo un problema de álgebra elemental. Me sorprendería si las propiedades de las isometrías hiperbólicas fueran realmente necesarias solo para probar esta desigualdad. Espero no haber cometido un error en el enunciado del problema.