¿Entender el teorema de Elitzur a partir del argumento simple de Polyakov?

Estaba leyendo el primer capítulo del libro de Polyakov "Gauge-fields and Strings" y no pude entender un argumento ondulado a mano que hace para explicar por qué en los sistemas con simetría de calibre discreta solo las cantidades invariantes de calibre pueden tener un valor esperado finito. Esto se conoce como el teorema de Elitzur (que se cumple para la simetría de calibre continua).

Polyakov dice: [...] no podría haber ningún parámetro de orden en tales sistemas (en un sistema invariante de calibre discreto) [...], solo las cantidades invariantes de calibre son distintas de cero. Esto se sigue del hecho de que al fijar los valores de σ X , α en el límite de nuestro sistema no estropeamos la invariancia de calibre dentro de él.

Aquí σ X , α son las variables de "giro" que decoran los enlaces de un Z 2 Teoría del calibre de la red. Me gustaría entender la última oración de esta declaración. ¿Alguien podría aclarar qué quiere decir y por qué esto implica que no se rompe la simetría de calibre?

Respuestas (2)

1） La teoría de calibre es una teoría en la que usamos más de una etiqueta para etiquetar el mismo estado cuántico.

2）La “simetría” de calibre no es una simetría y nunca se puede romper.

Esta noción de teoría de calibre es bastante poco convencional, pero cierta.

Cuando dos estados cuánticos diferentes | a ⟩ y | b ⟩ (es decir ⟨ a | b ⟩ = 0 ) tienen las mismas propiedades, decimos que hay una simetría entre | a ⟩ y | b ⟩ . Si usamos dos etiquetas diferentes” a " y " b ” para etiquetar el mismo estado, | a ⟩ = | b ⟩ , después | a ⟩ y | b ⟩ obviamente tienen (o tiene) las mismas propiedades. En este caso, decimos que hay una "simetría" de calibre entre | a ⟩ y | b ⟩ y la teoría de | a ⟩ y | b ⟩ es una teoría de calibre (al menos formalmente). Como | a ⟩ y | b ⟩ , siendo el mismo estado, siempre tiene (o tiene) las mismas propiedades, la "simetría" de calibre, por definición, nunca se puede romper.

Usualmente, cuando la misma “cosa” tiene las mismas propiedades, no decimos que hay una simetría. Por lo tanto, los términos "simetría de calibre" y "ruptura de simetría de calibre" son dos de los términos más engañosos de la física teórica. Idealmente, no deberíamos usar los dos términos confusos anteriores. Deberíamos decir que hay una estructura de indicador (en lugar de una "simetría" de indicador) cuando usamos muchas etiquetas para etiquetar el mismo estado. Cuando cambiamos nuestro esquema de etiquetado, debemos decir que hay un cambio en la estructura de calibre (en lugar de una "ruptura de simetría de calibre").

Gracias por sus comentarios Prof. Wen. Entonces, si no existe una "simetría" de calibre, entonces preguntar si puede romper la simetría de calibre no tiene ningún sentido. Sin embargo, creo que la pregunta que estoy haciendo, es decir, "¿Cómo puedes entender el teorema de Elitzur a partir del argumento simple de Polyakov?" sigue siendo legítimo. En otras palabras, ¿por qué el argumento de Polyakov implica que no se puede tener un valor esperado finito de los operadores que no son invariantes de calibre?
@VanillaSpinIce Porque los valores esperados del operador que no es invariante de calibre corresponderían al "nombre" que usamos para etiquetar el estado. Como enfatiza el Prof. Wen, el nombre no es un observable físico, todos los nombres son equivalentes en la teoría de calibre. Cualquier valor esperado de dicho operador distinguirá un nombre de los demás, lo cual es ilegal.
@ Everett Usted: Ya veo. Entonces, siguiendo las declaraciones 1) y 2) dadas anteriormente, esto tiene sentido. Ok, pero ¿por qué estas afirmaciones son ciertas? ¿Es esto de hecho una consecuencia del teorema de Elitzur? Hay una brecha en mi comprensión (por lo que entiendo, parece que hay algo circular en este argumento).
@ Everett You: Todavía no estoy seguro de por qué el argumento de Polyakov (y solo el argumento de Polyakov) no implica una expectativa finita de cantidades dependientes del calibre para la red Z 2 teoría del calibre.
@EverettYou Me parece extremadamente obvio que las simetrías de calibre no se pueden romper espontáneamente (de hecho, ni siquiera sé qué significaría que se "rompa" una simetría de calibre). Entonces, el teorema de Elitzur parece totalmente trivial y se puede probar en una oración sin matemáticas, como lo hizo el profesor Wen arriba. Pero supongo que para obtener un "teorema" que lleva su nombre, Elitzur hizo un poco más de trabajo que eso. ¿Exactamente qué resultado no trivial demostró Elitzur? Si realmente hizo algo de matemáticas, entonces debe haber estado abordando un problema un poco menos trivial.
Otras publicaciones relacionadas con el comentario de @tparker: physics.stackexchange.com/q/190416 (extracto de la respuesta de Dominic Else: "incluso si interpretamos las simetrías de calibre como simetrías reales, nunca se pueden romper espontáneamente. Este resultado se conoce como el teorema de Elitzur. .."), y physics.stackexchange.com/a/545485 (extracto de la respuesta de Ruben Verresen: "la simetría global correspondiente tampoco se rompe. De hecho, esta es una consecuencia fácil del punto anterior, ya que la simetría global es un caso especial de la simetría local.")

Dígalo de manera diferente a esta otra respuesta en otro lugar de esta página , algún proceso de promedio debe dar un valor esperado ⟨ O ⟩ de lo observable O . Ahora, si desea calcular el valor esperado de una cantidad covariante de indicador, debe promediar toda la redundancia de indicador, algo así como ⟨ O ⟩ ∼ ⟨ ∅ | ∫ d R [ R O R † ] | ∅ ⟩ decir, con | ∅ ⟩ el estado de vacío (el estado fundamental si lo prefiere) y R la transformación de calibre. Corresponde a una suma de todos los grados de libertad internos (redundantes) que no cambia el resultado de un experimento (por lo que una transformación de calibre abarca un conjunto de estados que no se pueden distinguir entre sí). La transformación de calibre se puede ver como una rotación en el espacio de parámetros en el que R se aplica también, y por lo tanto el promedio siempre da cero.

Entonces, una cantidad covariante de calibre no puede ser un observable, en adelante no puede ser un parámetro de orden.

En cuanto al argumento de Polyakov explícitamente (¿cuál es su σ X , α ?), no puedo decirlo, ya que nunca abro su libro.

¿Entender el teorema de Elitzur a partir del argumento simple de Polyakov?
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