¿Depende la estructura de calibre de baja energía de la elección de la libertad de calibre SU(2)SU(2)SU(2)?

El punto de partida y las notaciones utilizadas aquí se presentan en ¿Dos acertijos en el Grupo de simetría proyectiva (PSG)? . Como sabemos, el Grupo de calibre invariante (IGG) es un subgrupo normal del Grupo de simetría proyectiva (PSG), pero puede que no sea un subgrupo normal de$SU(2)$, como$IGG=U(1)$. Pero esto puede resultar en un problema:

Por definición, podemos calcular la$IGG$y$IGG'$del$SU(2)$Hamiltonianos de campo medio equivalente de calibre$H(\psi_i)$y$H(\widetilde{\psi_i})$, respectivamente. Y es fácil ver que para cada sitio$i$, tenemos$U_i'=G_iU_iG_i^\dagger$, dónde$U_i'\in IGG'$y$U_i\in IGG$, Lo que significa que$IGG'=G_i\text{ }IGG \text{ }G_i^\dagger$. Ahora el problema es explícito, si$IGG$(como$U(1)$) no es un subgrupo normal de$SU(2)$, entonces$IGG'$puede no ser igual a$IGG$, entonces esto significa que dos$SU(2)$Hamiltonianos de campo medio equivalente de calibre$H(\psi_i)$y$H(\widetilde{\psi_i})$puede tener diferentes IGG ? O en otras palabras, ¿depende la estructura del indicador de baja energía de la elección de$SU(2)$medir la libertad?

Muchas gracias.