¿Cómo debo pensar en los monopolos en una teoría de calibre U (1) U (1) U (1) de celosía 3 + 1D?

El hamiltoniano para compactos 3+1D$U(1)$la teoría de calibre en una red cúbica es de la forma

$$\begin{equation} H = J\sum_{\text{links}\ l}E^2_{l}+ g \sum_{\text{plaquettes}\ P}\cos(\Phi_P), \end{equation}$$ donde el operador $E_l$es el campo eléctrico de valor entero, conjugado canónicamente al vector potencial $A_l$: $[A_l,E_l]=i$. Puedo usar el $2\pi$-Potencial vectorial periódico o el campo eléctrico para etiquetar los enlaces de la red cúbica y corresponden a dos bases diferentes del espacio de Hilbert de la teoría.

Las cargas en esta teoría son muy fáciles de representar. En particular, se pueden definir en base a la línea de campo eléctrico por la ley de Gauss:

$$\begin{equation} q_i = \sum_{<ij>}E_{ij} \end{equation}$$ Entonces puedo agregar un $\sum_{\text{sites} \ i}q_i^2$término al hamiltoniano anterior, y considere una carga como una excitación de la teoría que vive en los sitios de la red.

También sabemos que una teoría de calibre U(1) compacta 3+1D alberga monopolos.

Mi pregunta es: ¿Cómo debemos representar un monopolo en la descripción de la red?

Ingenuamente, uno puede imitar la definición de una carga eléctrica y usar la siguiente ley de Gauss para definir un monopolo:

$$\begin{equation} m_{\tilde{i}\ \text{on the dual lattice}} = \sum_{\text{plaquetttes}\ P \ containing\ \tilde{i}} \Phi_P \end{equation}$$ Entonces puedo agregar un $\sum_{\text{sites on the dual lattice} \ \tilde{i}}m_{\tilde i}^2$término al hamiltoniano anterior, y considere un monopolo como una excitación de la teoría que vive en los sitios de red dual. Pero parece haber algo mal con esta conjetura, porque la siguiente identidad siempre se cumple: $$\begin{equation} \sum_{\text{boundary plaquettes}\ P \ \text{of a cube}} \Phi_P = 0. \end{equation}$$ Esto se puede verificar aplicando una versión discreta del teorema de Stokes ( $\int_D B = \int_{\partial D} A$), $\Phi_P = \sum_{\text{links}\ l \ \text{of}\ P} a_l$, y la suma de los flujos sobre las placas límite de un cubo se reduce a la suma de los campos de calibre sobre todos los eslabones del cubo, cada campo de calibre se suma dos veces, una vez con cada signo, y la suma desaparece. Entonces parece que los monopolos siempre están ausentes en la teoría.