¿Por qué en presencia de una fuerza de largo alcance, las excitaciones de Goldstone están ausentes?

La página 15 de esta nota dice:

Si una simetría continua del Lagrangiano se rompe espontáneamente y no hay fuerzas de largo alcance, entonces existe una excitación de frecuencia cero con momento cero.

es decir, en presencia de interacciones de largo alcance, la ruptura de la simetría no va acompañada de la aparición de bosones de Goldstone. También dice que

La ausencia de fuerzas de largo alcance, que pueden tender a acoplar giros a grandes distancias, es necesaria para la existencia de un modo con ω → 0 como k → 0 .

Vale la pena señalar que cosas similares también se mencionan en la página 432 de los Principios de física de la materia condensada de Chaikin y Lubensky:

En este caso (es decir, en ausencia de fuerzas de largo alcance), el teorema de Goldstone implica que hay un modo cuya frecuencia tiende continuamente a cero a medida que el número de onda tiende a cero.

¿Qué quiere decir el autor con la frase " si no hay fuerzas de largo alcance "? ¿Se refiere a la presencia de un campo de calibre como en el caso de la superconductividad?

¿Está esta frase tratando de señalar el hecho familiar de que en presencia de un campo de calibre, los bosones de Goldstone son "comidos" en el calibre unitario? Pero lo dudo porque una vez que se rompe la simetría, el campo de calibre adquiere una masa y ya no es una fuerza de largo alcance.

Por fuerzas de largo alcance, creo que quieren decir que el propagador desnudo se desintegra lo suficientemente rápido (en el espacio real). Esto es equivalente a alguna condición de localidad en QFT. (Para las interacciones de espín de largo alcance, la teoría suele ser de campo medio y la discusión es algo diferente).

Respuestas (1)

En una teoría -

  • Uno puede tener simetrías globales continuas (como la simetría de sabor). Estos no tienen ningún campo bosónico de calibre sin masa asociado con ellos.

  • Uno puede tener simetrías de calibre continuas (como la simetría electromagnética U (1)). Estos tienen bosones de calibre sin masa asociados a ellos. Estos median fuerzas de largo alcance.

El teorema de Goldstone luego establece:

  • Cuando una simetría global continua se rompe espontáneamente, existe una excitación de frecuencia cero con momento cero. Este es un dof sin masa que se llama bosón de Goldstone.

  • Cuando una simetría de norma continua se rompe espontáneamente, el bosón de Goldstone sin masa asociado a la simetría de norma se vuelve masivo.

En esencia, lo que sucede es que el modo de Goldstone de la ruptura espontánea de la simetría es "comido" por el bosón de norma y aparece como el modo longitudinal que lo hace masivo. En términos de la teoría de la representación,

2 ( giro sin masa-1 dof ) + 1 ( Goldstone/modo longitudinal ) = 3 ( giro masivo-1 dof )

Sí. Soy consciente de esto como he mencionado en el último párrafo de mi pregunta. Pero sospecho por dos razones. 1. Una vez que se rompe la simetría, los campos de norma adquieren masa y ya no pueden producir una interacción de largo alcance. 2. ¿Por qué deberíamos decir que un campo de norma produce una interacción de largo alcance incluso cuando no tiene masa? El término de interacción en el tu ( 1 ) teoría (como escalar QED) está dada por ∼ q A m ( ϕ ∗ ∂ m ϕ − ϕ ∂ m ϕ ∗ ) + q 2 A m A m | ϕ | 2 . ¿Puedo llamar a esta interacción de largo alcance solo porque el campo A m existe en todas partes? @Prahar
1. Creo que el autor quiere decir "en ausencia de fuerzas de largo alcance antes de la ruptura espontánea de la simetría ". 2. Si un bosón no tiene masa, su interacción es de largo alcance. Esto tiene que ver con el potencial efectivo que cae exponencialmente para estados masivos, pero solo polinomialmente para campos sin masa.
Por interacción de largo alcance entiendo, por ejemplo, un término de interacción que va como el 1 / r . @Prahar
@SRS: sí, cada campo de calibre bosónico sin masa media una interacción de largo alcance.
1. De acuerdo. 2. ¿Hay alguna forma en que pueda mostrar que este "potencial efectivo" (según tengo entendido, probablemente esté hablando de encontrar el potencial de tipo Coulomb mediante la transformación de Fourier de la amplitud de dispersión) es como algunos r − norte ? En el hamiltoniano de Heisenberg, la interacción es de corto alcance ya en el nivel hamiltoniano porque el coeficiente j en el hamiltoniano H = − j s i ⋅ s j representa la fuerza de la interacción de intercambio que ya es de corto alcance. En el caso de QED escalar, el "carácter de corto alcance" de la interacción no es obvio en el nivel lagrangiano.
@SRS - Sí. Puede calcular utilizando el Born aprox. la corrección de orden principal a la matriz S donde se intercambia un campo de calibre sin masa. Luego haga una transformada de Fourier para encontrar el potencial efectivo.
¿Por qué en presencia de una fuerza de largo alcance, las excitaciones de Goldstone están ausentes?
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