SU(2)SU(2)SU(2) simetría calibre

Question

SU(2)SU(2)SU(2) simetría calibre

Física
yang-mills
mentira-álgebra
teoría de calibre
simetría de calibre
representaciones de grupo

KoObO

Tome el Lagrangiano con un fermión:

L = - \frac{1}{4} F_{a}^{m v} F_{m v}^{a} + \bar{ψ} (i γ^{m} D_{m} - metro) ψ

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}_aF^a_{\mu\nu} + \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi$ donde la derivada covariante de calibre

D_{μ} = \partial_{μ} + i \frac{g}{2} t^{a} W_{μ}^{a}

$D_\mu = \partial_\mu+i\frac{g}{2}t^aW^a_\mu$ . El lagrangiano es invariante bajo un local

S U (2)

$SU(2)$ transformación:

ψ (X) \to Exp [- i θ^{a} (X) t^{a}] ψ (X)

$\psi(x) \rightarrow \exp \left[-i\theta^a(x)t^a \right]\psi(x)$

W_{m}^{a} (X) \to W_{m}^{a} (X) + \frac{1}{gramo} \partial_{m} θ^{a} (X) + ϵ^{a b C} θ^{b} (X) W_{m}^{C} (X)

$W^a_\mu(x) \rightarrow W^a_\mu(x) +\frac{1}{g}\partial_\mu\theta^a(x) + \epsilon^{abc}\theta^b(x)W^c_\mu(x)$

A menudo, decimos que $W_\mu^a$ se transforma de acuerdo con la representación adjunta de $SU(2)$ pero ¿cómo podemos decir eso basándonos en la ecuación anterior?

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Cazador · Answer 1

Tenga en cuenta que la transformación finita de:

W_{m}^{a} \to W_{m}^{a} + \frac{1}{gramo} \partial_{m} θ^{a} + ϵ^{a b C} θ^{b} W_{m}^{C}

$W^a_\mu \to W^a_\mu + \frac{1}{g} \partial_\mu \theta^a + \epsilon^{abc} \theta^b W^c_\mu$ es:

\begin{matrix} (1) & W_{m}^{a} t^{a} \to gramo W_{m}^{a} t^{a} {gramo}^{- 1} + \frac{i}{gramo} \partial_{m} gramo \end{matrix}

$W^a_\mu t^a \to g W_\mu^a t^a g^{-1} + \frac{i}{g} \partial_\mu g \tag{1}$ dónde:

gramo = Exp (- i θ^{a} t^{a}) y [t^{a}, t^{b}] = i ϵ^{a b C} t^{C}

$g = \exp(-i \theta^a t^a) \;\;\; \text{and} \;\;\; [t^a,t^b] = i \epsilon^{abc} t^c$ Por lo tanto, el primer término del lado derecho de la ecuación

(1)

$(1)$ se transforma bajo la representación adjunta del grupo de Lie . El segundo término no se transforma bajo la representación adjunta, pero debería ser fácil verificar que el campo de calibre transformado todavía toma valores en el álgebra de Lie (pista: observar las transformaciones infinitesimales es el método más fácil para verificar esto).

En caso de que desee más información sobre la representación adjunta del grupo Lie, podría valer la pena mirar esta pregunta .

Gracias por su respuesta. Creo que mi problema es que entiendo mal lo que realmente significa "transformarse bajo". Dime si me equivoco: Vamos a tomar $SU(3)$ , Para el $\mathbf{3}$ con índices de Dynkin (1,0), un estado se transforma como: $\psi(x) \rightarrow g\psi(x)$ . Para el $\bar{\mathbf{3}}$ (0,1), un estado se transforma como: $\phi(x) \rightarrow \phi(x) g^{-1}$ . Y para la representación adjunta (1,1): $\mathcal{O} \rightarrow g \mathcal{O} g^{-1}$ . Pero entonces, si vuelvo a $SU(2)$ , porque el $\mathbf{2}$ y $\mathbf{\bar 2}$ son equivalentes, deben transformarse de la misma manera?
@KoObO No estoy muy familiarizado con los índices de Dynkin para ser honesto. Sin embargo, un campo que toma valores en el álgebra de Lie, es decir $\phi \in \mathfrak{g}$ , se transformará bajo la representación adjunta como $\phi \to g \phi g^{-1}$ y tomará nuevamente valores en la representación adjunta, es decir $g \phi g^{-1} \in \mathfrak{g}$ . La forma más fácil de entender esto es mirar mi respuesta dada aquí . El punto central de la propiedad de transformación del campo de calibre es que
viven en el álgebra de Lie antes y después de una transformación. Esta es probablemente la razón por la que la gente dice que los campos de calibre se transforman bajo la representación adjunta.
@KoObO Finalmente, vale la pena mencionar que debe tener cuidado de no confundir la representación adjunta de un grupo de Lie y la representación adjunta de un álgebra de Lie .
Ok, creo que he entendido. ¡Gracias por su(s) respuesta(s)!
@KoObO no hay problema! Además, si desea saber la respuesta a su primer comentario (relacionado con los índices de Dynkin), creo que es una pregunta muy válida para hacer aquí. Personalmente, ¡me interesaría ver una respuesta!
Aquí está la pregunta: physics.stackexchange.com/questions/108919/…

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