Pregunta sobre mi prueba de: limh→0f(ch)=limch→0f(ch)limh→0f(ch)=limch→0f(ch) \lim_{h \to 0}f(ch)=\lim_{ch \ a 0}f(ch) para c≠0c≠0c\neq 0

Esta publicación se dividirá en dos secciones: la primera sección contendrá la prueba y la segunda sección contendrá la pregunta. La prueba se escribirá formalmente, ya que la pregunta se entiende más fácilmente haciendo referencia a la descripción formal. (Tenga en cuenta que el contexto de esta publicación está en Cálculo de Spivak , que trata todas las funciones, a menos que se indique lo contrario, como si tuvieran un dominio de$\mathbb R$).

Probar:$\displaystyle \lim_{h \to 0}f(ch)=\displaystyle \lim_{ch \to 0}f(ch)$para$c\neq 0$, que es equivalente a:

Si$c\neq 0$y$\displaystyle \lim_{h \to 0}f(ch)=L$, entonces$\displaystyle \lim_{ch \to 0}f(ch)=L$ $\quad$y$\quad$Si$c\neq 0$y$\displaystyle \lim_{ch \to 0}f(ch)=L$, entonces$\displaystyle \lim_{h \to 0}f(ch)=L$

Probaremos sólo la primera implicación (lo contrario se completa de manera similar):

Por suposición:$\displaystyle \lim_{h \to 0}f(ch)=L \iff \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 \ \forall h \in \mathbb R \left [ 0 \lt |h| \lt \delta \rightarrow |f(ch)-L| \lt \varepsilon \right ]$

Queremos mostrar que para una arbitraria$\varepsilon$, podemos construir un$\delta$tal que$\color{red}{\forall ch} \in \mathbb R \left [ 0 \lt |ch| \lt \delta \rightarrow |f(ch)-L| \lt \varepsilon \right]$

Para$\varepsilon$, sabemos por suposición que hay un$\delta_{\varepsilon}$tal que:

$\forall h \in \mathbb R \left [ 0 \lt |h| \lt \delta_{\varepsilon} \rightarrow |f(ch)-L| \lt \varepsilon \right ]$

Ahora, considere un$\delta ^* = \min\left(\delta_{\varepsilon},\frac{\delta_{\varepsilon}}{|c|}\right)$.

Si$0 \lt |h| \lt \delta^* \leq \delta_{\varepsilon}$, por supuesto tenemos:$|f(ch)-L| \lt \varepsilon$.

Además, si$0 \lt |h| \lt \delta^* \leq \frac{\delta_{\varepsilon}}{|c|}$, entonces$0 \lt |ch| \lt |c|\delta^*$.

Por lo tanto, dejemos que nuestro deseado$\delta$definirse como$\delta = |c|\delta^*$. Mientras$0\lt|ch| \lt \delta$, se cumplen todos nuestros criterios.

En la prueba anterior, hice uso de la siguiente declaración:

$\color{red}{\forall ch} \in \mathbb R \left [ 0 \lt |ch| \lt \delta \rightarrow |f(ch)-L| \lt \varepsilon \right]$

A través de mi breve experiencia en matemáticas, el objeto universalmente cuantificado$ch$es atípica. Sospecho que la forma correcta de denotar esto es estableciendo una función de la forma:$g(h)=ch$y luego definir un solo símbolo que represente su salida. es decir, algo como$s_h :=g(h)$. Más específicamente, deberíamos escribir$g$formalmente como:$g: \mathbb R \to \mathbb R$dónde$h \mapsto ch$.

Entonces reescribiríamos la declaración como:

$\color{red}{\forall s_h} \in \mathbb R \left [ 0 \lt |s_h| \lt \delta \rightarrow |f(s_h)-L| \lt \varepsilon \right]$

Esto parece emular la notación más familiar de un cuantificador universal, donde solo un símbolo sigue al cuantificador.

Realmente no conozco la teoría profunda detrás de la lógica de primer orden, pero sospecho que la razón por la que esta prueba "funciona" es porque mi nuevo símbolo$s_h$tiene la capacidad de barrer todos los objetos dentro$\mathbb R$. Dicho de otra manera, la función previamente definida$g$puede demostrarse que es sobreyectiva con respecto a$\mathbb R$.

Si lo anterior es cierto, ¿existen ocasiones en las que el cambio de función de variable no es sobreyectivo, y esto hace que falle la igualdad entre dos límites ?