Energía y cantidad de movimiento como derivadas parciales de la acción sobre la capa en la teoría de campos

Sí, esto se considera, por ejemplo, en la Ref. 1. En la teoría de campos, el punto de partida es la acción fuera del caparazón.$^1$

$$\tag{1} I[\phi; t_f,t_i] ~:=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt~\int_{\Sigma} d^3x~ {\cal L}(\phi(x,t),\dot{\phi}(x,t), \partial_x \phi(x,t);x,t) ,$$

dónde$t_i$y$t_f$indican los tiempos inicial y final, respectivamente. Ahora imponemos condiciones de contorno apropiadas (BC), por ejemplo, Dirichlet BC

$$\tag{2} \phi^{\alpha}(x,t_i)~=~\phi^{\alpha}_i(x) \qquad \text{and}\qquad \phi^{\alpha}(x,t_f)~=~\phi^{\alpha}_f(x) .$$

Suponemos que para dado BC (2) existe una solución única$\phi_{\rm cl}$a las ecuaciones de Euler-Lagrange. OP está interesado en la acción en el caparazón (Dirichlet) definida como

$$\tag{3} S[\phi_f,t_f; \phi_i,t_i] ~:=~ I[\phi_{\rm cl}; t_f,t_i].$$

A continuación, defina el campo de impulso (lagrangiano)

$$\tag{4} \pi_{\alpha}(x,t) ~:=~\frac{\partial {\cal L}(\phi(x,t),\dot{\phi}(x,t), \partial_x \phi(x,t);x,t)}{\partial \dot{\phi}^{\alpha}(x,t)},$$

y energía

$$\tag{5} h(t)~:=~\int_{\Sigma} d^3x~\left(\sum_{\alpha}\pi_{\alpha}(x,t)\dot{\phi}^{\alpha}(x,t) -{\cal L}(\phi(x,t),\dot{\phi}(x,t), \partial_x \phi(x,t);x,t)\right).$$

Entonces uno puede mostrar teóricamente el campo$^{2}$eso

$$\tag{6} \frac{\delta S}{\delta \phi^{\alpha}_f(x)}~=~ \pi_{\alpha}(x,t_f), \qquad \frac{\delta S}{\delta \phi^{\alpha}_i(x)}~=~ -\pi_{\alpha}(x,t_i) ,$$

y

$$\tag{7} \frac{\partial S}{\partial t_f}~=~-h(t_f), \qquad \frac{\partial S}{\partial t_i}~=~h(t_i).$$

Ejemplo: una densidad lagrangiana de campo libre${\cal L} = \frac{1}{2}\phi^2$lleva a

$$\tag{8} S(\phi_f,t_f; \phi_i,t_i) ~=~ \frac{1}{2(t_f-t_i)} \int_{\Sigma} d^3x~(\phi_f(x)-\phi_i(x))^2 .$$

Referencias:

1. MTW ; Sección 21.1 y Sección 21.2.

2. LD Landau y EM Lifshitz, Mecánica, vol. 1, 1976;$\S$43.

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$^1$Para acciones en mecánica de puntos, vea, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

$^2$Para una prueba de mecánica puntual, véase, por ejemplo, Ref. 2 y mi respuesta Phys.SE aquí .

¡Sí, de hecho lo hay!

En primer lugar, se cumple la ecuación normal de Hamilton-Jacobi, por lo que la energía sigue estando dada por la derivada temporal de la acción en el caparazón.

Pero el objeto local relevante que es más natural en la teoría de campos es el tensor tensión-energía-cantidad de movimiento, que contiene densidades y flujos de energía y cantidad de movimiento. La cuestión de qué variar para obtener esto quizás no esté clara al principio: la respuesta es variar la geometría de fondo sobre la que se define la teoría.

Más específicamente, se varía la métrica, que define las nociones locales de distancias y ángulos. De hecho, al final esta resulta ser la mejor forma de definir el tensor tensión-energía: es (hasta constantes) la derivada de la acción con respecto a la métrica de fondo.

Por cierto, en las teorías gravitatorias como GR, la métrica en sí misma es un campo dinámico, por lo que esta variación de la acción en el caparazón con respecto a la métrica es, por definición, cero: uno puede definir una tensión-energía de "materia" simplemente incluyendo parte de la acción, pero no existe una buena definición local de densidad de energía total y cosas relacionadas en tales teorías.