¿Por qué la acción general necesita tener un extremum?

¿Por qué todo el camino debe tener un extremo, pero no un mínimo?

Quiero decir, esto no es una prueba exacta, pero: hay al menos un camino que satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange ya que son de segundo orden en el tiempo y por lo tanto admiten dos condiciones de contorno, que generalmente son suficientes para fijar el inicio y puntos finales Las excepciones solo involucrarían casos en los que sus leyes de movimiento prohíban cualquier camino que vaya del punto A al punto B y usted haya pedido ese camino de todos modos, como si intentara usar un espacio que no está conectado (topológicamente hablando) y luego ponga los puntos en partes desconectadas.

Además, ¿qué quieren decir con que solo se usa la condición extrema?

Más precisamente: dejar$\mathcal P$denote las funciones suaves de$\mathbb R$("hora de$\mathbb R^n$("coordenadas de partículas"), que llamaremos "trayectorias": los matemáticos probablemente dirían$\mathcal P = C^\infty(\mathbb R, \mathbb R^n)$más o menos. (Ocasionalmente, es posible que necesitemos una restricción más débil, como caminos dos veces diferenciables, más o menos).

Un principio de acción es una función.$S_T :: \mathcal P \to \mathbb R$mapear caminos a números reales, lo que llamamos la acción del camino. El$T$aquí hay un dominio de tiempo opcional, útil para algunos principios de acción que se pueden representar con un Lagrangiano$L :: (\mathbb R^n, \mathbb R^n, \mathbb R)\to\mathbb R$como:

$$S_T[p] = S_T\big[t \mapsto p(t)\big] = \int_T d\tau~L\big(p(\tau),~p'(\tau),~\tau\big).$$ Tenga en cuenta que el lagrangiano no sabe que sus argumentos dependen del tiempo o se derivan entre sí o algo por el estilo; el lagrangiano solo ve algunos $(\vec a, \vec b, c)$y lo asigna a algún número. Esto te ayuda a mantener las cosas en orden cuando comienzas a preguntarte por qué, digamos, hay una derivada de tiempo total pero solo una derivada espacial parcial : la secuencia dice "hacer derivadas parciales de $L(\vec a, \vec b, c),$luego sustituye en $\vec a = p(t)$y $\vec b = p'(t),$luego tome esta derivada del tiempo".

Introducimos una perturbación de trayectoria$p(t) \mapsto p(t) + \epsilon~q(t)$con$q[T] = (\vec 0, \vec 0)$y luego buscar el camino$p$cuya acción es un extremo relativo a las perturbaciones de trayectoria ,

$$S\big[t\mapsto p(t) + \epsilon~q(t)\big] = S[p] + O(\epsilon^2).$$ Por lo tanto, estamos tratando de estudiar los caminos para los cuales el término lineal en $\epsilon$desaparece, y esto da las ecuaciones de Euler-Lagrange para el principio de acción, $(\nabla_a L)_{a=p,b=p'c=t} - \frac{d}{dt}\big[(\nabla_b L)_{a=p,b=p',c=t}\big]= 0.$

Por lo tanto, solo estamos usando la condición extrema de que$\delta S = 0$, no la condición mínima de que también para este camino el siguiente término sea$\epsilon^2 F[q]$para algunos estrictamente positivos$F.$El principio a menudo se denomina "acción mínima", pero es un nombre inapropiado porque la acción también podría ser un máximo o un punto de silla o lo que sea, siempre que su "derivada" (respuesta a pequeñas perturbaciones de trayectoria) desaparezca.

Eso es todo lo que quieren decir cuando dicen "solo se usa la condición extrema".

[Por supuesto, luego tomamos esta idea matemática abstracta (entradas extremas a un principio de acción) y la imbuimos de significado físico. El lagrangiano es energía cinética menos potencial, la ruta extrema es la ruta que el sistema realmente toma desde el punto de inicio hasta el final dado, las ecuaciones de Euler-Lagrange son, por lo tanto, "ecuaciones de movimiento" para el sistema a través de su espacio de fase. Pero están haciendo una declaración a nivel matemático, no a nivel físico.]