¿Cuál es el significado de la acción?

La única interpretación física real de esta cantidad está en la mecánica cuántica. Esta es la fase de un aporte de un camino que va desde$t_1$a$t_2$a lo largo del camino$x(t)$. Entonces, los dos términos son relativamente claros, cuando exponen esto para hacer una fase y hacer que el tiempo sea una red:

$$e^{i \int_{t_1}^{t_2} (T - V)} = \prod_{t_1<t<t_2} e^{i {m(x(t+\epsilon)-x(t))^2\over 2\epsilon}}e^{-i \epsilon V(x(t))}$$

Donde el producto está sobre todos los t entre$t_1$y$t_2$en$\epsilon$pasos de tamaño.

El primer término le da la fase para la propagación libre de partículas desde$x(t)$a$x(t+\epsilon)$. El segundo término da una rotación de fase extra para la energía potencial en la posición$x(t)$. Las dos fases se suman y usted suma las fases sobre todos los caminos para obtener la propagación cuántica total.

El camino clásico es entonces el lugar donde la fase es estacionaria, por lo que los caminos tienden a sumarse con la misma fase, en lugar de cancelarse debido a la interferencia. Este es el lugar donde una variación de primer orden en el camino no cambia la acción.

Para encontrar esto, puede cambiar$x(t)$a$x(t)+\delta x(t)$, y encuentre la variación principal

$$e^S \int_t ( m \dot{x} {d\over dt}(\delta x) - V'(x) \delta x) dt$$

Integrando el primer término por partes, se encuentra

$$m\ddot{x} = - V'(x)$$

o que la partícula obedece la ley de Newton. La misma derivación funciona en el formalismo de la integral de trayectoria para demostrar el teorema de Ehrenfest y la ecuación de movimiento de Heisenberg. Esto se debe a que la integral de trayectoria es invariante ante desplazamientos de la variable de integración$x(t)$por una cantidad constante$\delta x(t)$, incluso si esa constante es diferente de vez en cuando.

La cantidad

$$S= \int_{t_1}^{t_2} (T -V) dt$$ se conoce como la acción clásica. Existe una ley física (llamada el "principio de acción mínima") que dice que el verdadero camino que toma un objeto es el que minimiza $S$.

Comprueba que es cierto. Lanzaré una pelota hacia arriba. Cuando la pelota sale de mi mano su energía cinética$T$es alto, y dado que la naturaleza prefiere minimizar la integral$S$, la energía potencial de la pelota$V$aumenta rápidamente para minimizar el integrando$T-V$. Entonces, el principio de acción mínima explica por qué las pelotas suben cuando las lanzas.

Entonces, ¿por qué las pelotas de béisbol no siguen yendo a la estratosfera para hacer$T-V$lo mas pequeño posible? ¡Necesitarían mucha energía cinética para hacer eso! Tanto que compensaría la contribución negativa adicional de$-V$. Resulta que el verdadero camino está en algún lugar entre subir alto y avanzar rápido, que es lo que observamos. (Las bolas disminuyen la velocidad a medida que suben).

Más allá de este argumento cualitativo, se puede utilizar el cálculo variacional para derivar las leyes de Newton a partir del principio de acción mínima.