Restricciones principales para las teorías de campo hamiltonianas

Actualmente estoy tratando de llevar a cabo la construcción del hamiltoniano generalizado, restricciones y álgebra de restricciones, etc. para una teoría de campo particular siguiendo el procedimiento de las "Conferencias sobre mecánica cuántica" de Dirac. Mi pregunta es la siguiente:

Tengo variables de impulso que dependen de las derivadas espaciales de las coordenadas generalizadas, pero no de las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas. ¿Es esta una restricción primaria o no?

Tengo pensamientos contradictorios sobre esto. Por un lado, hay textos que dicen que se produce una restricción primaria cuando la definición de una variable de cantidad de movimiento no es invertible para la velocidad correspondiente. Según este criterio, tengo una restricción principal porque el impulso no depende de la derivada temporal de las coordenadas generalizadas.

Por otro lado, Dirac por ejemplo dice que una restricción primaria es una función de la forma

x ( pag , q ) = 0

que viene de la definición de los momentos. Este no es mi caso, ya que tengo una función que también depende de las derivadas espaciales de las q's. Según este criterio, no tengo una restricción principal.

Cualquier ayuda muy apreciada.

Respuestas (1)

Al considerar el formalismo hamiltoniano , es importante distinguir entre los dos marcos siguientes:

  1. Mecánica de puntos (PM). Variables 1 : q i ( t ) y pag j ( t ) . el hamiltoniano H depende de los siguientes argumentos:

    (1) H ( q ( t ) ; pag ( t ) ; t ) .

  2. Teoría de campos (FT) en d + 1 dimensiones del espacio-tiempo. Variables 1 : ϕ α ( X , t ) y π β ( X , t ) . La densidad hamiltoniana H depende de los siguientes argumentos:

    H ( ϕ ( X , t ) , ∂ ϕ ( X , t ) , ∂ 2 ϕ ( X , t ) , … , ∂ norte ϕ ( X , t ) ;
    (2) π ( X , t ) , ∂ π ( X , t ) , ∂ 2 π ( X , t ) , … , ∂ norte π ( X , t ) ; X , t ) .
    dónde ∂ denota derivado espacial (en oposición a temporal). Aquí norte es finito para un FT local, y norte ≤ 1 para una FT relativista.

PM es el d = 0 caso de FT; mientras que FT se puede ver como PM si tratamos las coordenadas espaciales como un índice continuo i = ( α , X ) , cf. La notación condensada de DeWitt .

FT siempre tiene una cantidad infinita de grados de libertad (DOF), mientras que PM puede tener una cantidad finita o infinita de grados de libertad.

En la transformación de Legendre/procedimiento de Dirac-Bergmann para FT, las derivadas espaciales (a diferencia de las derivadas temporales) no tienen un estatus/rol especial. De manera equivalente, los derivados espaciales son espectadores pasivos.

En FT, la definición de restricciones primarias se transfiere del caso PM sin modificaciones. En particular, la presencia de derivadas espaciales no altera el estatus de una ecuación como una restricción o no.

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1 Tenga en cuenta que en el caso de las restricciones, las variables (además de las variables dinámicas) también incluyen variables auxiliares.

Entonces, usando su notación, en el caso de la teoría de campos si tuviera un impulso dado por π = ∂ ϕ , ¿sería esa una restricción primaria? Me inclino a responder que no, porque me parece que esto simplemente determina la variable ∂ ϕ en términos de π , y no reduce el número de variables independientes en el espacio de fase.
Además, si mi ejemplo es de hecho una restricción primaria, entonces, ¿cómo se hace para imponerla? Las restricciones primarias deben definir una superficie de restricción en el espacio de fase, pero π − ∂ ϕ = 0 no hace eso
@Steven: Sí, por ejemplo, el modelo L = ϕ ˙ ∂ ϕ conduce a la restricción primaria π = ∂ ϕ . ¿Qué FT estás mirando? ¿Cuál es la densidad lagrangiana? L ?
La teoría con la que realmente estoy tratando se puede encontrar en la sección 2 del siguiente documento: arxiv.org/abs/1309.1660 . Estoy trabajando con la versión de cuatro dimensiones de esta teoría (las cosas son cualitativamente diferentes para las dimensiones ≤ 3). Es una teoría de 'calibre puro' que es equivalente a la forma de primer orden de la relatividad general. El impulso conjugado con el ϕ y la parte espacial de ω (conexión de espín) las variables implican derivadas espaciales de ϕ y ω , pero no dependen de las velocidades correspondientes.
Para ahorrar algo de tiempo, el impulso se conjuga a ϕ a por ejemplo viene dada por π a = 2 ( D j ϕ ) b F k yo C d ϵ a b C d ϵ j k yo . los índices i , j , k = 1 , 2 , 3 son índices de "espacio-tiempo" que están restringidos a ejecutarse sobre la parte del espacio. D es la derivada covariante del grupo calibre, que es I S O ( 4 ) , F es el tensor de intensidad de campo y los índices a , b , C , d . . . = 1 , 2 , 3 , 4 están en una representación particular del grupo euclidiano de cuatro dimensiones I S O ( 4 ) .
Cuanto más pienso en esto, más pienso que los momentos de esta forma no conducen a restricciones primarias. Por ejemplo, llevar a cabo el análisis de restricciones usando el enfoque de Faddeev-Jackiw ( pdf ) no da como restricciones primarias. Y si tratas de tratarlos como si lo fueran, por lo que puedo ver, conduce a inconsistencias. Finalmente, según la definición de Dirac en las "conferencias sobre mecánica cuántica", no son restricciones porque no son funciones de la forma x ( q , pag ) = 0 .
Por lo tanto, creo que la respuesta debe modificarse; de hecho, la definición de restricción primaria se traslada al caso de la teoría de campos sin cambios, siempre que se tome esa definición como "una función de la forma x ( q , pag ) = 0 que surge de la definición de los momentos". En particular, una función de la forma x ( q , pag , ∂ q ) = 0 es norte o t una restricción
@Steven: incluya también explícitamente la acción/densidad lagrangiana para asegurarse de que hablamos del mismo modelo. Supongo que es un modelo de (3+1)D Pagels con I S O ( 4 ) grupo de indicadores embalado en el interior S O ( 5 ) con una dirección de calibre preferida fija?
La acción 4d es ∫ ( D ϕ ) A ∧ ( D ϕ ) B ∧ F C D ϵ A B C D mi ϕ mi . El grupo de calibre puede tomarse como S O ( 5 ) o I S O ( 4 ) (la forma de la acción es la misma). La diferencia es que la constante cosmológica es 0 para I S O ( 4 ) y distinto de cero para S O ( 5 ) .
Corrección a la respuesta (v3): La última norte en la ecuación (2) debe ser norte − 1 .
¿Qué pasa si tenemos una función? x ( pag , q i ) = 0 de un solo impulso pag y coordenadas q i que no son conjugados con pag , que proviene de la definición del momento pag . ¿Eso altera el estado de la función como una restricción principal?
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