Demostrando la independencia del lagrangiano en la posición de una partícula libre usando la ecuación de euler-lagrange

Hice una pregunta similar hace algún tiempo, pero estoy tratando de trabajar esto desde otro ángulo.

Al derivar el lagrangiano de una partícula libre, usamos la homogeneidad del espacio para concluir que el lagrangiano no depende de su vector de posición$\vec{x}$. Por homogeneidad del espacio, entiendo que si desplazas la posición inicial de la partícula por un vector$\vec{c}$, entonces todos los puntos en la trayectoria de la partícula están desplazados por el mismo vector$\vec{c}$. Mirando la ecuación de Euler Lagrange, considerando un caso de un grado de libertad:

Si$x_1(t)$es una solución a la ecuación EL correspondiente a la condición inicial$x(t_1)=X_1$,

$$\frac{\partial L(x_1(t),\dot{x}_1(t),t)}{\partial x} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial L(x_1(t),\dot{x}_1(t),t)}{\partial \dot{x}}=0 \tag{1}$$ y $x_1(t) + c$es también una solución a la ecuación EL correspondiente a la condición inicial $x(t_1)=X_1 + c$, dónde $c$es un desplazamiento infinitesimal, $$\frac{\partial L(x_1(t)+c,\dot{x}_1(t),t)}{\partial x} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial L(x_1(t)+c,\dot{x}_1(t),t)}{\partial \dot{x}}=0 \tag{2}$$ entonces me gustaria probar que $$\frac{\partial L(x,\dot{x},t)}{\partial x}=0 \tag{3}$$

Hasta ahora, intenté expandir$L(x_1(t)+c,\dot{x}_1(t),t)$como una serie de taylor en poderes de$c$. Desde$c$es muy pequeño, los términos lineales en$c$dominar. Entonces puedo reducir la ecuación.$(2)$a:

$$[L_{xx}-L_{xx\dot{x}}\,\dot{x} - L_{x\dot{x}\dot{x}}\,\ddot{x} - L_{x\dot{x}t}]\,c=0\tag{4}$$

No estoy seguro de cómo puedo proceder desde aquí.

Si puedo demostrar que$\frac{\partial L(x,\dot{x},t)}{\partial x}=0$para un desplazamiento infinitesimal, puedo imaginar una infinidad de tales desplazamientos sucesivos$\vec{c}$, haciendo$\frac{\partial L(x,\dot{x},t)}{\partial x}=0$válido para desplazamientos finitos.