Encuentre el punto de control de la curva de Bézier cuadrática que tiene solo los puntos finales

Cómo encontrar explícitamente el punto de control C 0 ( X 0 , y 0 ) de la curva de Bezier cuadrática si solo tengo sus puntos finales C 1 ( X 1 , y 1 ) y C 2 ( X 2 , y 2 ) ?

Adivinar

Esto debe hacerse usando el hecho de que la tangente que pasa por C 1 y C 2 se reúne en C 0 . Entonces, desde

y = metro 1 X + b 1     a norte d     y = metro 2 X + b 2 ,
con
metro 1 = y 0 − y 1 X 0 − X 1 ,     metro 2 = y 0 − y 2 X 0 − X 2 ,     b 1 = y 1 − metro 1 X 1 ,     b 2 = y 2 − metro 2 X 2 .
Por lo tanto
metro 1 X 0 + b 1 = metro 2 X 0 + b 2     o r     X 0 = b 2 − b 1 metro 1 − metro 2 ,
que no es otra cosa que identidad. ¿Estoy haciendo algo mal?

Editar

Los puntos finales se encuentran en una elipse.

¿Tiene una descripción paramétrica como X = a t 3 + . . . , y = C t 3 + . . . ?
las tangentes del punto final de la curva se encuentran en cp.
De tangentes tengo X C = b 2 − b 1 metro 1 − metro 2 y y C = metro 1 X C + b 2 con metro 1 = y C − y 1 X C − X 1 y metro 2 = y C − y 2 X C − X 2 . Como encontrar b 1 y b 2 ??
Son ellos b 1 = y 1 − metro 1 X 1 y b 2 = y 2 − metro 2 X 2 , correspondientemente, o llegaré a la identidad?
Estoy llegando a la identidad.
¿Conoces las pendientes en los puntos finales ( metro 1 y metro 2 )?
Resultó que ambos puntos finales están ubicados en una elipse. Pero define metro 1 y metro 2 ?
si desea que la curva de Bézier coincida con la elipse, debe obtener los vectores tangentes de la elipse. Si está dispuesto a usar una cuadrática racional, en lugar de una cuadrática polinomial regular, entonces puede hacer coincidir la elipse exactamente.

Respuestas (2)

Como dice Joriki, no puedes obtener el otro punto de control sin otra información.

Sin embargo, si conoce un punto en la línea, puede resolverlo. La fórmula para una función Bezier cuadrática tomada de https://en.wikipedia.org/wiki/Bezier_curve es:

PAG ( t ) = ( 1 − t ) 2 PAG 0 + 2 ( 1 − t ) t PAG 1 + t 2 PAG 2

Si conoce dos puntos de control y un punto separado en la línea en un momento conocido, puede calcular el tercer punto de control. Digamos que conoce los puntos inicial y final P0 y P2, y sabe que la curva pasa por P(0.5) en t=0.5:

PAG ( 0.5 ) = ( 1 − 0.5 ) 2 PAG 0 + 2 ( 1 − 0.5 ) 0.5 PAG 1 + 0.5 2 PAG 2 PAG ( 0.5 ) = 0.25 PAG 0 + 0.5 PAG 1 + 0.25 PAG 2 PAG 1 = 2 PAG ( 0.5 ) − 0.5 PAG 0 − 0.5 PAG 2

Para un Bézier cúbico, si conoce los puntos inicial y final, puede encontrar los dos puntos de control del medio utilizando el método descrito aquí: https://web.archive.org/web/20131225210855/http://people.sc.fsu. edu/~jburkardt/html/bezier_interpolation.html

Eso requiere que conozcas los puntos por los que pasa la curva en t=1/3 y t=2/3. Me temo que no he intentado generalizarlo a ningún punto en el tiempo.

No puede obtener el punto de control desde los puntos finales. Una curva de Bézier cuadrática está definida por los tres puntos. Si solo tiene los puntos finales, puede elegir arbitrariamente un punto de control para definir una curva de Bézier cuadrática.

Encuentre el punto de control de la curva de Bézier cuadrática que tiene solo los puntos finales
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