Rotar un punto en un círculo con radio y posición conocidos

Veamos un problema más simple. Suponga que tiene la situación que se muestra en la siguiente figura:

Entonces, dado el ángulo$\alpha$, las coordenadas del punto$C''$son:

$$C''_x = r\cos\alpha \qquad\mbox{and}\qquad C''_y = r\sin\alpha$$

dónde$r$es el radio del círculo.

Ahora veamos un problema un poco más complicado, que se muestra a continuación:

Esto es muy similar a la situación anterior. De hecho,

$$C'_x = r\cos(\alpha+\beta) \qquad\mbox{and}\qquad C'_y = r\sin(\alpha+\beta)$$

Usando las relaciones trigonométricas$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha$y$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$, podemos escribir lo anterior de la siguiente manera:

$$C'_x = r\cos\alpha\cos\beta - r\sin\alpha\sin\beta \qquad\mbox{and}\qquad C'_y = r\sin\alpha\cos\beta + r\sin\beta\cos\alpha$$

Pero, espera... Mirando la situación anterior y reemplazando$C''$con$B'$y$\alpha$con$\beta$, vemos eso

$$B'_x = r\cos\beta \qquad\mbox{and}\qquad B'_y = r\sin\beta$$

Por lo tanto, podemos escribir

$$C'_x = B'_x\cos\alpha - B'_y\sin\alpha \qquad\mbox{and}\qquad C'_y = B'_x\sin\alpha + B'_y\cos\alpha$$

Pero lo que quieres es esto, en cambio:

Bueno, podemos mover todo rígidamente por el vector$-\vec{OA}$de modo que$A$ahora es el origen del sistema de coordenadas y obtenemos la situación justo arriba. Esto equivale a restar$A$de ambos$B$y$C$Llegar$B'$y$C'$en lo anterior, y encontramos

$$C_x - A_x = (B_x-A_x)\cos\alpha - (B_y-A_y)\sin\alpha$$ $$C_y - A_y = (B_x-A_x)\sin\alpha + (B_y-A_y)\cos\alpha$$

Entonces finalmente,

$$C_x = A_x + (B_x-A_x)\cos\alpha - (B_y-A_y)\sin\alpha$$ $$C_y = A_y + (B_x-A_x)\sin\alpha + (B_y-A_y)\cos\alpha$$

Esto se llama una transformación afín. Básicamente, la idea es desplazar temporalmente nuestro círculo para que esté centrado en el origen, aplicar una matriz de rotación al punto como se hace en álgebra lineal y luego desplazarlo hacia atrás. Usando la notación que tienes en tu problema, además de agregar

$$M=\left(\begin{array}{cc} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha)\\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha)\\ \end{array}\right)$$ Para representar la rotación en sentido antihorario a través de un ángulo. $\alpha$(si lo quiere en el sentido de las agujas del reloj como aparece en su imagen, simplemente cambie el $-\sin(\alpha)$con el $\sin(\alpha)$), esta transformación viene dada por: $${C}=M(B-A)+A$$ dónde $A,B,C$son los vectores que representan sus respectivos puntos.