Comprensión intuitiva de las derivadas de sinxsin⁡x\sin x y cosxcos⁡x\cos x

Tal vez el siguiente diagrama le proporcione una idea:

La idea es ver las curvas de seno y coseno como proyecciones de una hélice dibujada en un cilindro. Si miras el cilindro mismo como un cuadrado plano curvado de longitud$2\pi$, entonces helix es una versión curvada de la diagonal del cuadrado. Un vector tangente a lo largo de la diagonal del cuadrado plano siempre se encuentra a 45 grados de los lados del cuadrado, digamos con sombras de longitud "1" en cada dirección; después de enrollar suavemente el cuadrado en el cilindro, el vector tangente se encuentra a 45 grados del cilindro ($z$-)eje y la perpendicular ($xy$-)avión.

Proyectar la hélice en el$zy$- y$zx$-planes da gráficos de seno y coseno. Proyectar el vector tangente de la hélice da vectores tangentes a esos gráficos. El "$\mathrm dz$"s para estas tangentes proyectadas son siempre$1$(la sombra "vertical" del vector tangente de la hélice). Para llegar a "$\mathrm dy$" y "$\mathrm dx$" ("$v_x$" y "$v_y$" en el diagrama) proyectamos hacia abajo en el$xy$-plano donde vemos un círculo, y otro vector tangente proyectado.

La geometría básica nos dice que una tangente a un círculo es perpendicular al radio en el punto de tangencia. En nuestro círculo, el punto de tangencia --y el radio vector-- está parametrizado como "$<\cos$,$\sin$,$0>$". Por lo tanto, la recta tangente perpendicular debe tener un vector de dirección "negativo-recíproco": "$<-\sin$,$\cos$,$0>$", que nos da nuestro"$\mathrm dx$" y "$\mathrm dy$" para la tangente de la hélice ... y las tangentes del gráfico proyectado también, de modo que podemos llegar a las siguientes conclusiones:

La derivada del coseno --por su definición conceptual como "pendiente de la recta tangente"-- es cambio en$x$-sobre-cambio-en-$z$=$\mathrm dx/\mathrm dz = -\sin/1 = -\sin$.

Asimismo, la derivada del seno es$\mathrm dy/\mathrm dz = \cos/1 = \cos$.

Me gusta este enfoque porque la definición conceptual de "pendiente de la línea tangente" de la derivada se usa en todo momento; no hay apelaciones (obvias) a trucos computacionales digresivos que involucren identidades trigonométricas y límites de cocientes de diferencias. También me gusta que el curioso signo negativo en la derivada del coseno se remonte a una propiedad elemental de la geometría circular.

Por supuesto, este enfoque no constituye una prueba de las fórmulas. El proceso de enrollar el cuadrado plano en un cilindro y afirmar que el vector tangente se comporta como se afirma en realidad asume la maquinaria computacional cubierta por los argumentos de límite tradicionales. Sin embargo, en un nivel intuitivo , creo que este argumento explica muy bien el "por qué" de las derivadas. Luego, saber cuáles son las fórmulas (o "deberían ser") ayuda a motivar la investigación de los trucos computacionales necesarios para proporcionar una prueba rigurosa.

Aquí hay un PDF con una variante de la discusión anterior (pero la misma imagen). Aquí hay una demostración de Mathematica que anima los diversos elementos, incluido el cuadrado que se enrosca en el cilindro.

Estoy de acuerdo con David (+1), este es el gráfico pertinente y me funciona:

Desde aquí _

Actualizado (se agregó una breve explicación para que sea independiente) :

El triángulo rectángulo principal (en azul) da$\cos \theta$(lado horizontal) y$\sin \theta$(vertical). el pequeño cambio$\Delta \theta$produce un nuevo triángulo con el correspondiente$\cos(\theta +\Delta \theta )$y$\sin(\theta +\Delta \theta)$

Ahora, mirando el pequeño triángulo (en rojo) vemos que sus catetos corresponden a los incrementos$\Delta(\sin \theta)$y$-\Delta(\cos \theta)$; además, para pequeños incrementos, la hipotenusa$h$tiende al arco$\Delta \theta$, y el triángulo pequeño es similar al principal (por lo tanto$\phi \to \theta$).

Pero$\cos \phi=\Delta(\sin \theta)/h \to d(\sin \theta)/ d\theta$. Por eso$d(\sin \theta)=\cos \theta \, d\theta$

Haciendo lo mismo con la otra pierna, obtenemos$d(\cos \theta)= - \sin \theta \, d\theta$

Esto está relacionado con la respuesta de Justin L. , porque básicamente tengo la misma interpretación, pero mientras que esa respuesta (tal como la interpreto) brinda una gran verificación intuitiva de que las derivadas son correctas, tengo la intención de presentar cómo uno podría realmente (algo intuitivamente) llegan a las derivadas.

Por definición,$s(x)=(\cos(x),\sin(x))$da el punto en el círculo unitario después de recorrer una longitud de arco$x$desde el punto$(1,0)$, orientado en sentido antihorario. La parametrización con respecto a la longitud del arco es precisamente la condición que garantiza que la curva tenga velocidad unitaria, es decir,$|s'(x)|\equiv 1$. Porque$s$también tiene longitud constante, la regla del producto se puede usar para mostrar que$s'(x)$es perpendicular a$s(x)$para todos$x$:

Así para cada$x$,$s'(x)$es un vector de longitud unitaria perpendicular a$s(x)$. Esto deja 2 posibilidades: ya sea una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj o en el sentido de las agujas del reloj$\frac{\pi}{2}$de$s(x)$. Pero ahora, porque$s'$nos dice como$s$está cambiando, debe apuntar en la dirección del movimiento de$s$, es decir, en sentido contrario a las agujas del reloj. De este modo$s'(x)$es una rotación en sentido antihorario por$\frac{\pi}{2}$de$s(x)$, lo que significa

Pero también tenemos$s'(x)=(\cos'(x),\sin'(x))$, por lo que las coordenadas coincidentes producen$\cos'=-\sin$y$\sin'=\cos$.

Un hecho importante que debe mencionarse explícitamente es que

Para una medida de ángulo general, la derivada de$\sin x$es un múltiplo escalar de$\cos x$. De hecho, se podría argumentar que esta es la razón principal de la utilidad de los radianes : el radián es la medida del ángulo que hace que ese múltiplo escalar sea igual a 1.

Esto es algo de lo que no mucha gente se da cuenta. Por ejemplo, aquí hay una cita de una respuesta de Math Overflow a la pregunta "¿Por qué enseñamos a los estudiantes de cálculo la derivada como límite?"

Me gustaría señalar una pregunta simple que muy pocos estudiantes de cálculo e incluso profesores pueden responder correctamente: ¿Es la derivada de la función seno, donde el ángulo se mide en grados, lo mismo que la derivada de la función seno, donde el ángulo se mide en radianes. En mi departamento audicionamos a todos los candidatos para enseñar cálculo y, a menudo, hacemos esta pregunta. Tantas personas, incluidas algunas con doctorados de buenas escuelas, no pudieron responder esto correctamente que incluso lo probé con algunos matemáticos realmente famosos. Una vez más, la dificultad que todos tenemos con esta pregunta es para mí una señal de lo mal que aprendemos cálculo.

Para ver por qué los radianes son cruciales, observa las pendientes de las gráficas de$\sin x$en$x = 0$cuando$x$se mide en radianes y cuando$x$se mide en grados.

Primero, cuando$x$está en radianes:

La pendiente parece estar cerca de 1. (Y, por supuesto, sabemos que es 1).

Segundo, cuando$x$esta en grados:

La pendiente es mucho, mucho más pequeña que 1. Así que la derivada de$\sin x$en$x = 0$cuando$x$está en grados no puede ser$\cos(0) = 1$. La respuesta correcta, si$x$está en grados, es que la derivada de$\sin x$es$\frac{\pi}{180}\cos x$(a través de la regla de la cadena).

Por supuesto, todas las respuestas a la pregunta del OP dadas aquí asumen implícitamente que$x$se mide en radianes. (Puede ser un ejercicio interesante para los estudiantes que lean esto revisar cada uno de los otros argumentos para ver exactamente dónde se está haciendo esa suposición). Sin embargo, como señala la cita de Math Overflow, esto es algo que mucha gente no sabe. no me doy cuenta

Como estudiante de Física, me gustaría proponer una respuesta que proviene de mi comprensión de ver el seno y el coseno en el mundo real.

Al hacer esto, examinaré el movimiento circular uniforme.

Debido a la definición de punto en un círculo unitario de seno y coseno, podemos decir que:

r(t) = < cos(t), sin(t) >

Es una función paramétrica adecuada para describir un punto que se mueve a lo largo del círculo unitario.

Consideremos cuál debería ser la primera derivada, en un contexto físico. La primera derivada de posición debería representar, idealmente, la velocidad del punto.

En un contexto físico, esperaríamos que la velocidad sea la línea tangente a la dirección del movimiento en un momento dado t. A partir de esto, sería tangente al círculo en el ángulo t. Además, debido a que la velocidad angular es constante, la magnitud de la velocidad también debe ser constante.

r'(t)     = < -sin(t), cos(t) >
|r'(t)|^2 = (-sin(t))^2 + cos(t)^2
|r'(t)|^2 = sin(t)^2 + cos(t)^2
|r'(t)|^2 = 1
|r'(t)|   = 1

Como era de esperar, la velocidad es constante, por lo que las derivadas del seno y el coseno se comportan como deberían.

También podemos pensar en cuál sería la dirección de la velocidad, en comparación con el vector de posición.

No estoy seguro si esto es "hacer trampa" por los límites de la pregunta, pero al visualizar el gráfico podemos ver que la velocidad, por la naturaleza de ser tangente al círculo, debe ser perpendicular al vector de posición.

Si esto es cierto, entonces posición * velocidad = 0 (producto escalar).

                              r(t) * r'(t) = 0
  < cos(t), sin(t) > * < -sin(t), cos(t) > = 0
( cos(t) * -sin(t) ) + ( sin(t) * cos(t) ) = 0
              -sin(t)cos(t) + sin(t)cos(t) = 0
                                         0 = 0

La vida es buena. Si asumimos que la definición de cos(t) es -sin(t) y que la definición de sin(t) es cos(t), encontramos un comportamiento físico exactamente como se esperaba: una velocidad constante que siempre es perpendicular a la posición vector.

Podemos llevar esto más lejos y observar la aceleración. En Física, llamaríamos a esto la fuerza restauradora. En un círculo, ¿qué aceleración tendría que existir para mantener un punto moviéndose en un círculo?

Más específicamente, ¿en qué dirección tendría que ser esta aceleración?

Se necesita pensar poco para llegar a la idea de que la aceleración tendría que buscar el centro y apuntar hacia el centro. Entonces, si podemos encontrar que la aceleración está en la dirección opuesta al vector de posición, podemos estar casi seguros acerca de las derivadas del seno y el coseno. Es decir, su ángulo interno debe ser pi.

                            r(t) * r''(t) = |r(t)| * |r''(t)| * cos(pi)
                            r(t) * r''(t) = |r(t)| * |r''(t)| * -1
< cos(t), sin(t) > * < -cos(t), -sin(t) > = |<cos(t),sin(t)>| * |<-cos(t),-sin(t)>| * -1
                    -cos(t)^2 + -sin(t)^2 = 1 * 1 * -1
               -1 * (cos(t)^2 + sin(t)^2) = -1
                                   -1 * 1 = -1
                                       -1 = -1

Si miras cuidadosa y geométricamente el límite del cociente que define sen'(x) en el círculo unitario, y tomas la cuerda y la tangente como aproximaciones al arco (eso es el ángulo; esta es la esencia de sen(x)/x se acerca a 1), verás que el límite del cociente de derivadas tiende exactamente a cos(x), es decir, es adyacente/hipotenusa. En otras palabras, está integrado en la geometría del triángulo rectángulo, como tantos fenómenos matemáticos.

Además, en esa geometría, verá al acecho la demostración de la fórmula sen(x+y), que, junto con el límite de sen(x)/x, es la prueba estándar de que sen'(x) = cos (x) va. Pero saltarse ese álgebra e ir directamente a la geometría es la forma más sencilla que conozco de responder la pregunta.

Lo siento, no tengo tiempo ni herramientas para hacer los dibujos.

Sospecho que esto dice lo mismo que la respuesta de física anterior, pero quizás más directamente. Creo que todas las respuestas que se refieren a expansiones de series pierden el punto.

Este interesante patrón de derivadas que involucran seno y coseno está relacionado con el hecho de que e^x es su propia derivada y que e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) (Fórmula de Euler ) .

Estos dos hechos son, en cierto sentido, las matemáticas que se esconden detrás de la explicación más física de Justin L, que bien podría encontrar más intuitiva.

Una de las principales formas en que el seno y el coseno surgen es como soluciones fundamentales de la ecuación diferencial.$y'' = -y$, conocida como la ecuación de onda. ¿Por qué es esta una ecuación diferencial importante? Bueno, interpretándolo usando la segunda ley de Newton dice que "la fuerza es proporcional y opuesta a la posición". Por ejemplo, ¡esto es lo que sucede con un resorte!

Esa es una ecuación de segundo grado, por lo que tiene un espacio bidimensional de soluciones. ¿Cómo elegir una buena base para ese espacio? Bueno, una forma sería elegir$f$y$g$tal que$f' = i f$y$g' = -i g$. Sin embargo, eso implica demasiados números imaginarios, por lo que otra opción es$f' = -g$, y$g' = f$.

Por lo tanto, si está tratando de encontrar dos funciones que expliquen el movimiento oscilatorio, naturalmente lo llevará a elegir funciones que tienen$f' = g$,$g' = -f$, etc.

(Por otro lado, no está del todo claro desde este punto de vista por qué el seno y el coseno deberían tener algo que ver con los triángulos...)

Hablemos de la primera,

Echa un vistazo a la trama:

$\sin$es rojo,$\cos$es azul.

La tasa de cambio de la curva roja ($\sin$) es exactamente el valor y actual de la curva azul ($\cos$) en cada punto .

Señalando algunos puntos destacados:

• @x=$\frac{\pi}{2}$,$\sin(\frac{\pi}{2})=1$y$\cos(\frac{\pi}{2})=0$. Esto significa que la tasa de la curva del seno @ x=$\frac{\pi}{2}$es NADA, que se puede ver claramente en el gráfico - un máximo local.

• @x=0,$\sin(0)=0$y$\cos(0)=1$, lo que significa que sin(x) debería parecer viajar a lo largo de la línea recta y=x en el origen, lo cual sucede. De hecho, cerca de x=0 tenemos la aproximación sin(x)=x.

• @x=$\frac{\pi}{2}^+$, puedes ver$\sin(\frac{\pi}{2}^+)$comienza a descender. En este punto,$\cos(\frac{\pi}{2}^+)$TAMBIÉN cae por debajo del eje x, es decir, por primera vez la tasa de cambio de sin(x) se vuelve negativa.

Como anexo, puede descargar el cuaderno Mathematica de Graphing Derivatives , que le permite jugar un poco con$\text{sin}(x)$,$\text{cos}(x)$y otra función. Creo que muestra una construcción muy obvia pero interesante de esas funciones trigonométricas. En caso de que no quieras descargar o instalar nada, publiqué un screencast amateur , para que puedas ver la demostración. Básicamente, dibujas el$\text{sin}(x)$función, y en cada punto$(x,y)$usted calcula/dibuja la pendiente. El valor de la pendiente corresponde al valor de la$y$coordenada de la derivada de la función (en este ejemplo,$\text{cos}(x)$), manteniendo el mismo$x$coordinar.

Es un ejercicio maravilloso trazar una función aleatoria y dibujar la derivada de esa función en base a este procedimiento, luego echar un vistazo a la derivada 'verdadera' y ver cuánto se parece su dibujo a la derivada.

A partir de los primeros principios, utilizando identidades trigonométricas y aproximaciones de ángulo pequeño:

Para$x$pequeño,$\sin(x)\sim x$, entonces

Esto no es exactamente lo que preguntaste, pero mira la serie de Taylor para los polinomios:

Las relaciones entre las derivadas quedan claras a partir de esto.

No creo que puedas tener una idea intuitiva de los derivados sin mirar las tramas personalmente. Cuando considera que una derivada es una tasa de cambio, debe observar una función que varía, lo que implica que está observando el diagrama/gráfico de la función. Cuando considera además que una derivada (por definición, es una tasa de cambio) es una función de gradiente, la respuesta intuitiva es que cos es la función de gradiente de sin, y -sin es la función de gradiente de cos (y así sucesivamente) . Entonces, si calcula el gradiente de la curva del seno en cualquier punto, el valor que obtenga será el valor del coseno para ese punto.

En el espíritu de la pregunta, esta respuesta aborda la observación: "O, aún más sorprendente, solo la definición del triángulo rectángulo". En esencia, la misma respuesta que la de David Lewis .

Geométricamente d(sinθ)/dθse puede derivar en un triángulo rectángulo agrandando el triángulo rectángulo θ->θ+dθmientras se mantiene a:=adjfijo el ángulo recto. En primer orden d(sinθ)=(o+do)/(h+dh)-o/h≈do/h, donde o:=opp, h:=hyp. La pequeña parte del círculo con radio hque define dθes, de nuevo en primer orden, igual al lado opuesto de un triángulo con la proyección perpendicular de h sobre h+dh, de modo que dθ=do┴/h.

Entonces vemos que la derivada de sinθes igual a la proporción entre doy do┴. Inmediatamente se puede ver que esta proporción es igual sin(π/2-θ)=cos(θ)en el pequeño triángulo en la esquina superior derecha.

Entonces, "la proporción entre doy do┴es igual a la proporción de los dos lados adyacentes del ángulo θ" sería el significado geométrico intuitivo de sin'(θ)=cos(θ).

La siguiente prueba muy clara se encuentra en el clásico Cours d'Analyse de Camille Jordan (sin diagrama; ¡un ejercicio de visualización clara!):

Sean x y x+h dos puntos del círculo unitario. Al principio, observamos que | sin(x+h)-senx| < h , por lo tanto senx es continua.

Vemos fácilmente que 2sin(h/2) = cuerda h < h < 2tan(h/2).

Por lo tanto cos(h/2) < (2sin(h/2))/h < 1.

Si h tiende a 0, cos(h/2) tiende a 1. Por lo tanto

lím (2sen(h/2))/h = 1.

Habiendo establecido lo anterior, tenemos

(senx)' = lim(sen(x+h)-senx)/h) = lim((2sen(h/2))/h)cos(x+h/2)) = cosx.

Considere la gráfica de$y=\sin\theta$: En un nivel intuitivo, lo que significa 'la derivada de seno es coseno' es que si aumentamos el valor de$\theta$ligeramente, entonces el cambio correspondiente en$\sin\theta$es aproximadamente proporcional a este aumento, con$\cos\theta$siendo la proporcionalidad constante. Esto se puede visualizar de la siguiente manera: En otras palabras, la declaración

*Tenga en cuenta que hay muchos argumentos geométricos que se pueden usar para justificar las aproximaciones lineales, lo que significa que podemos evitar el uso de series de Maclaurin.

Considere eso