¿Cómo calcular la duración del período de una onda sinusoidal dada una longitud de "arco" fija y una amplitud máxima variable?

Question

¿Cómo calcular la duración del período de una onda sinusoidal dada una longitud de "arco" fija y una amplitud máxima variable?

Miguel

Estoy atascado en un problema que requiere que resuelva la longitud del período medio de una onda sinusoidal dada una longitud de "arco" fija de la onda sinusoidal y una amplitud máxima variable. He ilustrado el problema:

¿Es este problema solucionable? ¿Se puede aproximar de alguna manera computacional razonablemente económica? Es para un problema en el que tendré que volver a calcularlo constantemente en función de los cambios de amplitud (digamos de 0 a 1).

Gracias.

joriki

¿Cuál es el significado de las comillas alrededor de "arco"? ¿Quiere decir algo más que lo que se refiere a "longitud de arco" en el uso estándar?

joriki

Además, no me queda claro qué distinción está haciendo entre la longitud de arco "fija" y la amplitud "variable" de la onda sinusoidal. Si entiendo correctamente, ¿ambos se dan?

Miguel

La longitud de arco fija no cambia con el tiempo. La amplitud de la onda sinusoidal cambia con el tiempo. Se dan los dos. Pero solo cambia la amplitud de la onda sinusoidal. Entonces quiero saber la duración de la mitad del período a partir de eso. Las comillas están alrededor de la palabra arco porque un arco es una parte de un círculo. Una onda sinusoidal no es un arco. Simplemente parece un arco, así es como lo llamé.

joriki

No me queda claro cómo el cambio a lo largo del tiempo es relevante para el problema. ¿En qué se diferencia este problema de si simplemente dijeras que la longitud del arco y la amplitud están dadas y estás buscando el (medio) período? Con respecto a las definiciones de "arco" y "longitud de arco", consulte dictionary.com/browse/arc?s=t ("cualquier parte intacta de la circunferencia de un círculo u otra línea curva") y en.wikipedia.org/wiki /Arc_length ("La longitud del arco es la distancia entre dos puntos a lo largo de una sección de una curva"). No se requieren cotizaciones.

Respuestas (1)

¿Cómo calcular la duración del período de una onda sinusoidal dada una longitud de "arco" fija y una amplitud máxima variable?

¿Cuál es el significado de las comillas alrededor de "arco"? ¿Quiere decir algo más que lo que se refiere a "longitud de arco" en el uso estándar?
Además, no me queda claro qué distinción está haciendo entre la longitud de arco "fija" y la amplitud "variable" de la onda sinusoidal. Si entiendo correctamente, ¿ambos se dan?
La longitud de arco fija no cambia con el tiempo. La amplitud de la onda sinusoidal cambia con el tiempo. Se dan los dos. Pero solo cambia la amplitud de la onda sinusoidal. Entonces quiero saber la duración de la mitad del período a partir de eso. Las comillas están alrededor de la palabra arco porque un arco es una parte de un círculo. Una onda sinusoidal no es un arco. Simplemente parece un arco, así es como lo llamé.
No me queda claro cómo el cambio a lo largo del tiempo es relevante para el problema. ¿En qué se diferencia este problema de si simplemente dijeras que la longitud del arco y la amplitud están dadas y estás buscando el (medio) período? Con respecto a las definiciones de "arco" y "longitud de arco", consulte dictionary.com/browse/arc?s=t ("cualquier parte intacta de la circunferencia de un círculo u otra línea curva") y en.wikipedia.org/wiki /Arc_length ("La longitud del arco es la distancia entre dos puntos a lo largo de una sección de una curva"). No se requieren cotizaciones.

david k · Answer 1

En general, la longitud de una sinusoide durante medio período es una integral elíptica completa; ver ¿Cuál es la longitud de una onda sinusoidal desde $0$ a $2\pi$ ? Puede trabajar a partir de una amplitud y un período para obtener una longitud de arco, pero "invertir" el cálculo de la integral para obtener un período para una amplitud y longitud de arco dadas será difícil y probablemente costoso desde el punto de vista computacional.

Lo que sugeriría en su lugar es generar una tabla que proporcione los períodos para una longitud de arco fija y amplitudes seleccionadas, e interpolar dentro de esa tabla para obtener resultados para otras amplitudes.

Para generar entradas en la tabla, puede fijar el período, por ejemplo, $2\pi$ por conveniencia, y encuentre la longitud del arco para varias amplitudes. por la curva $y = a \sin x$ de amplitud $a$ , la longitud del arco es

L (a) = \int_{0}^{2 π} \sqrt{1 + a^{2} {porque}^{2} X} d X .

$\newcommand{d}{\,\mathrm d} L(a) = \int_0^{2\pi} \sqrt{1 + a^2 \cos^2 x} \d x.$

Ahora puede escalar toda la figura en todas las direcciones por un factor de $1/L(a)$ para obtener la curva

y = \frac{a}{L (a)} pecado (L (a) \cdot X)

$y = \frac{a}{L(a)} \sin(L(a)\cdot x)$ que tiene amplitud

\frac{a}{L (a)}

$\frac{a}{L(a)}$ , medio período

\frac{π}{L (a)},

$\frac{\pi}{L(a)},$ y longitud de arco

1.

$1.$ Ponga esa amplitud y medio período en su tabla.

Para obtener el semiperíodo para una longitud de arco dada $L$ y amplitud $A,$ busca el valor $\frac AL$ en la columna "amplitud" de su tabla, encuentre el semiperíodo interpolado usando la tabla y luego multiplique el valor interpolado por $L.$

Generar la tabla requiere algo de trabajo por adelantado, pero puede hacerlo una vez y almacenar los resultados en un archivo de datos que se puede leer al comienzo de su programa y usar una y otra vez. Cuantos más valores calcule por adelantado, más precisa será la interpolación; también puede usar splines cúbicos en lugar de interpolación lineal para obtener más precisión con el mismo número de filas en su tabla.

¿Cómo calcular la duración del período de una onda sinusoidal dada una longitud de "arco" fija y una amplitud máxima variable?

Miguel

joriki

joriki

Miguel

joriki

Respuestas (1)

david k

El área promedio de la sombra de un cuadrado.

Encuentre el punto de control de la curva de Bézier cuadrática que tiene solo los puntos finales

Suma de ángulos bajo los cuales se ve un segmento de línea fija desde puntos situados en otro segmento de línea

Comprensión intuitiva de las derivadas de sinxsin⁡x\sin x y cosxcos⁡x\cos x

¿Determinar los límites de una integral triple?

Aplicaciones geométricas de números complejos

Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Explicación intuitiva por qué la integral sen(x) es -cos(x)

Rotar un punto en un círculo con radio y posición conocidos

¿Por qué importa el signo en el método de Newton?